Question

【题目】如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结BE、CE．

（1）若a=5，sin∠ACB= ，求b．
（2）若a=5，b=10当BE⊥AC时，求出此时AE的长．
（3）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a、b应满足什么条件，并求出此时x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵AB=a=5，sin∠ACB= ，

∴ ，

∴AC=13，

∴BC= =12，

∴b=12

（2）解：如图1，

∵BE⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

又∠1+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

又∠BAE=∠ABC=90°，

∴△AEB∽△BAC，

∴ ，

即 ，

∴

（3）解：∵点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，

∴当△ABE与△BCE相似时，则∠BEC=90°

所以当△BAE∽△CEB（如图2）

则∠1=∠BCE，

又BC∥AD，

∴∠2=∠BCE，

∴∠1=∠2， 。

又∠BAE=∠EDC=90°，

∴△BAE∽△EDC，

∴ ，

即 ，

∴x2﹣bx+a2=0，

即

，

当b2﹣4a2≥0，

∵a＞0，b＞0，

∴b≥2a，

即b≥2a时， ，

综上所述：当a、b满足条件b=2a时△BAE∽△CEB，此时 （或x=a）；

当a、b满足条件b＞2a时△BAE∽△CEB，此时

【解析】(1)根据矩形的性质得出∠ABC=90°，根据正弦三角函数得出AC,然后利用勾股定理得出BC的长，从而得出答案；
（2）根据同角的余角相等得出∠1=∠2，又∠BAE=∠ABC=90°，从而判断出△AEB∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得出答案；
（3）点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，当△ABE与△BCE相似时，则∠BEC=90°，所以当△BAE∽△CEB（如图2），根据相似三角形的性质得出∠1=∠BCE，根据平行线的性质得出∠2=∠BCE，由等量代换得出∠1=∠2，又∠BAE=∠EDC=90°，从而判断出△BAE∽△EDC，根据相似三角形对应边成比例得出方程x2﹣bx+a2=0，将方程变形( x ) 2 =,当b2﹣4a2≥0，a＞0，b＞0，故b≥2a，综上所述得出结论
【考点精析】关于本题考查的矩形的性质和相似三角形的判定与性质，需要了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．