Question

【题目】已知：△ABC中，点D在边AC上，且AB2＝ADAC．

（1）如图1．求证：∠ABD＝∠C．

（2）如图2．在边BC上截取BE＝BD，ED、BA的延长线交于点F，求证：.

（3）在 （2）的条件下，若AD＝4，CD＝5，cos∠BAC＝，试直接写出△FBE的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S△BEF＝．

【解析】

（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明△ABD∽△ACB即可解决问题．

（2）过点B作BG∥AC交FE的延长线于点G．证明△BDF≌△BEG（ASA），推出DF=EG，推出EF=GD，由BG∥AC推出 可得答案 ．

（3）如图2中，过点B作BG∥AC交FE的延长线于点G，作CH⊥AB于H，FJ⊥BE于J．利用相似三角形的性质求出AB，再证明CA=CB，再利用相似三角形的性质求出BD，解直角三角形求出FJ即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵AB2＝ADAC 即，

又∵∠A＝∠A

∴△ABD∽△ACB，

∴∠ABD＝∠C．

（2）解：过点B作BG∥AC交FE的延长线于点G．

∵BG∥AC，

∴∠C＝∠GBE，

∵∠ABD＝∠C，

∴∠GBE＝∠C＝∠ABD，

∵BD＝BE，

∴∠BDE＝∠BED，

∴∠BDF＝∠BEG，

∴△BDF≌△BEG（ASA），

∴DF＝EG，

∴EF＝GD，

∵BG∥AC，

∴，

即．

（3）解：如图2中，过点B作BG∥AC交FE的延长线于点G，作CH⊥AB于H，FJ⊥BE于J．

∵AB2＝ADAC，AD＝4．CD＝5，

∴AB2＝4×9，

∴AB＝6，

在Rt△AHC中，∵cos∠CAH＝，

∴AH＝3，

∴BH＝AH＝3，

∵CH⊥AB，

∴CA＝CB，

∴∠CAB＝∠CBA，

∵AD∥BG，

∴，

△BDF≌△BEG

FB＝BG，

∴AF＝AD＝4，

∴BF＝AB+AF＝6+4＝10，

∵cos∠FBJ＝cos∠BAC＝，

∴BJ＝，

∴FJ＝，

∵△ABD∽△ACB，

∴，

∴，

∴BD＝BE＝6，

∴S△BEF＝BEFJ＝．