Question

10．已知：如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+1与x轴、y轴的交点分别是A和B，把线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AB′．
（1）直接写出点B′的坐标；
（2）若点C（1，a）在第一象限内，并且S_△ABC=S_△ABB′，求a的值；
（3）P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到△AOB≌△AEB′，根据全等三角形的性质得到AE=OB，B′E=OA=2，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根据三角形的面积公式得到S_△ABB′=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{5}{2}$，于是得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$CM×2=|a-0.5|=$\frac{5}{2}$．即可得到结论；
（3）分三种情况，①当AB=AP=$\sqrt{5}$时，②当AB=BP=$\sqrt{5}$，③当PA=PB，即点P在AB的垂直平分线上，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1：过B′作B′E⊥x轴于E，
∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+1与x轴、y轴的交点分别是A和B，
∴A（2，0），B（0，1），过B′作B′E⊥x轴于E，
∵∠AOB=∠B′EA=∠BAB′=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠AB′E=90°，
∴∠BAO=∠AB′E，
在△AOB与△AB′E中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠AEB′}\\{∠BAO=∠AB′E}\\{AB=AB′}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AEB′，
∴AE=OB，B′E=OA=2，
∴OE=3，
∴点B′（3，2）；

（2）∵△ABB′为等腰直角三角形，
直角边AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABB′=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{5}{2}$，
在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，当x=1时，y=0.5．
即直线x=1与AB交于点M（1，0.5）．
又∵点A和B到CM的距离之和显然为2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CM×2=|a-0.5|=$\frac{5}{2}$．
解得a=3；

（3）①当AB=AP=$\sqrt{5}$时，
∴OP=OA+AP=2+$\sqrt{5}$，或OP=AP-OA=$\sqrt{5}$-2，
∴P₂（2-$\sqrt{5}$，0）．P₄（2+$\sqrt{5}$，0），
②当AB=BP=$\sqrt{5}$，
∴OP=OA=2，
∴P₁（-2，0），
③当PA=PB，即点P在AB的垂直平分线上，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△APE∽△ABO，
∴$\frac{AE}{OA}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{2}=\frac{AP}{\sqrt{5}}$，
∴AP=$\frac{5}{4}$，
∴OP=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴P₃（$\frac{3}{4}$，0），
∴P点的坐标为：（-2，0），（2-$\sqrt{5}$，0），（2+$\sqrt{5}$，0），（$\frac{3}{4}$，0）．

点评 本题考查了一次函数的综合，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．