Question

【题目】如图，等腰中，是的角平分线，交于点，点为中点，连接，若

求证： 是的切线；

连接，若，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OE，根据平行线的性质和等边对等角证出∠DOF=∠EOF，然后利用SAS即可证出△ODF≌△OEF，从而得出∠ODF=∠OEF，再根据三线合一证出∠ODF=90°，从而得出∠OEF=90°，最后根据切线的判定定理即可证出结论；

（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠AED=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=DC=DF，利用等角的锐角三角函数相等求出DC和AC，再利用勾股定理求出直径AD，即可求出结论．

（1）证明：连接OE，

∵OF∥AC，

∴∠DOF=∠OAC，∠EOF=∠OEA，

∵OE=OA，

∴∠OAC=∠OEA，

∴∠DOF=∠EOF，

又∵OD=OE，OF=OF，

∴△ODF≌△OEF，

∴∠ODF=∠OEF，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠ODF=90°，

∴∠OEF=90°，

∴EF⊥OE，

∴EF为⊙O的切线．

（2）∵AD为直径，

∴∠AED=90°，

∴∠DEC=90°，

∵F为DC中点，

∴EF=DC=DF，

∴∠EDF=∠DEF，

∴

∴，

∵CE=1，

∴DC=

∵∠DAC+∠C=90°，∠EDC+∠C=90°，

∴∠DAC=∠EDC，

∴

∴，

∴AC=5，

∴AD=，

∴半径为．