【题目】如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,BE是⊙O的直径,连接BF,延长BA,过F作FG⊥BA,垂足为G.
(1)求证:FG是⊙O的切线;
(2)已知FG=2,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析;(2) 图中阴影部分的面积为.
【解析】
(1)连接OF,AO,根据题意可得∠ABF=∠AFB=∠EBF=30°,再利用OB=OF,证明AB∥OF,即可解答
(2)先利用等弧对等角求出△AOF是等边三角形,再证明S△ABF=S△AOF,即可解答
(1)证明:连接OF,AO,
∵AB=AF=EF,
∴,
∴∠ABF=∠AFB=∠EBF=30°,
∵OB=OF,
∴∠OBF=∠BFO=30°,
∴∠ABF=∠OFB,
∴AB∥OF,
∵FG⊥BA,
∴OF⊥FG,
∴FG是⊙O的切线;
(2)解:∵,
∴∠AOF=60°,
∵OA=OF,
∴△AOF是等边三角形,
∴∠AFO=60°,
∴∠AFG=30°,
∵FG=2,
∴AF=4,
∴AO=4,
∵AF∥BE,
∴S△ABF=S△AOF,
∴图中阴影部分的面积=.
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【题目】某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每本5元,大笔记本每本7元,钢笔每支10元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍,共花费346元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品的购买数量各为多少?
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【题目】为响应国家的一带一路经济发展战略,树立品牌意识,我市质检部分别对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测,通过检测得出C厂家的合格率为95%,并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图:
(1)抽查D厂家的零件为 件,扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 度;
(2)抽查C厂家的合格率零件为 件,并将图1补充完整;
(3)通过计算说明A、C两厂家谁的合格率更高?
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【题目】如图①,将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中,点的坐标是,点的坐标是,点的坐标是.点是的中点,在上取一点,将沿翻折,使点落在边上的点处.
(Ⅰ)求点、的坐标;
(Ⅱ)如图②,若点是线段上的一个动点(点不与点,重合),过点作于,设的长为,的面积为,试用关于的代数式表示;
(Ⅲ)在轴、轴上分别存在点、,使得四边形的周长最小,请直接写出四边形的周长最小值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,∠DCA=30°,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以DF为斜边作∠DFE=30°的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是________.
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【题目】如图,已知的圆心为点,抛物线过点,与交于两点,连接、,且,两点的纵坐标分别是2、1.
(1)请直接写出点的坐标,并求的值;
(2)直线经过点,与轴交于点.点(与点不重合)在该直线上,且,请判断点是否在此抛物线上,并说明理由;
(3)如果直线与相切,请直接写出满足此条件的直线解析式.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点A(-3,4).
(1)求b的值;
(2)过点A作轴的平行线交抛物线于另一点B,在直线AB上任取一点P,作点A关于直线OP的对称点C;
①当点C恰巧落在轴时,求直线OP的表达式;
②连结BC,求BC的最小值.
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【题目】某校为了解九年级学生的体育达标情况,随机抽取名九年级学生进行体育达标项目测试,测试成绩如下表,请根据表中的信息,解答下列问题:
测试成绩(分) | |||||
人数(人) |
(1)该校九年级有名学生,估计体育测试成绩为分的学生人数;
(2)该校体育老师要对本次抽测成绩为分的甲、乙、丙、丁名学生进行分组强化训练,要求两人一组,求甲和乙恰好分在同一组的概率.(用列表或树状图方法解答)
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