【题目】如图①,将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中,点的坐标是,点的坐标是,点的坐标是.点是的中点,在上取一点,将沿翻折,使点落在边上的点处.
(Ⅰ)求点、的坐标;
(Ⅱ)如图②,若点是线段上的一个动点(点不与点,重合),过点作于,设的长为,的面积为,试用关于的代数式表示;
(Ⅲ)在轴、轴上分别存在点、,使得四边形的周长最小,请直接写出四边形的周长最小值.
【答案】(Ⅰ)E(3,1),F(1,2);(Ⅱ)S=-+;(Ⅲ)5+;
【解析】
(Ⅰ)求出CF和AE的长度即可写出点的坐标;
(Ⅱ)用x表示出PD长度,结合三角函数进一步表示DH,PH的长度,运用三角形面积公式即可求解;
(Ⅲ)作点F关于y轴的对称点F′,点E关于x轴的对称点E′,连接E′F′交y轴于点N,交x轴于点M,此时四边形MNFE的周长最小,根据轴对称的性质可得四边形MNFE的周长=E′F′+EF,根据两点间的距离公式即可得出结论.
(Ⅰ)∵点的坐标是,点的坐标是,
∴OA=3,AB=2
根据矩形OABC可得:AB=OC=2,BC=OA=3
由可翻折的性质可得:BF=AB=2,
∴CF=BC-BF=1,
∵点是的中点,∴AE=1,
∴E(3,1),F(1,2);
(Ⅱ)如图2
∵将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处,
∴BF=AB=2,
∴OD=CF=3-2=1,
∵=,OD=1,∴PD=x-1,
在Rt△ABD中,AB=2,AD=2,∴∠ADB=45°,
在Rt△PDH中,PH=DH=DP=(x-1),
∴S=×DH×PH=×(x-1)×(x-1)=-+;
(Ⅲ)如图3
作点F关于y轴的对称点F′,点E关于x轴的对称点E′,连接E′F′交y轴于点N,交x轴于点M,此时四边形MNFE的周长最小,
∵点F(1,2)关于y轴的对称点F′(-1,2),
∵点E(3,1)关于x轴的对称点E′(3,-1),
∴F′N=FN, E′M=EM
∴四边形MNFE的周长=E′F′+EF=;
∴四边形MNFE周长的最小值为:.
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【题目】如图,排球运动员站在点M处练习发球,将球从M点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足抛物线解析式.已知球达到最高2.6m的D点时,与M点的水平距离EM为6m.
(1)在图中建立恰当的直角坐标系,并求出此时的抛物线解析式;
(2)球网BC与点M的水平距离为9m,高度为2.43m.球场的边界距M点的水平距离为18m.该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界,你认为他的判断对吗?请说明理由.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线PE,切点为M,过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接AM,则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)
①AM平分∠CAB;
②AM2=ACAB;
③若AB=4,∠APE=30°,则的长为;
④若AC=3,BD=1,则有CM=DM=.
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【题目】学校举行图书节义卖活动,将所售款项捐给其他贫困学生.在这次义卖活动中,某班级售书情况如表:
售价 | 3元 | 4元 | 5元 | 6元 |
数目 | 14本 | 11本 | 10本 | 15本 |
下列说法正确的是( )
A. 该班级所售图书的总收入是226元
B. 在该班级所售图书价格组成的一组数据中,中位数是4
C. 在该班级所售图书价格组成的一纽数据中,众数是15
D. 在该班级所售图书价格组成的一组数据中,方差是2
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,AB=,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH、CH.当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH=_____.
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【题目】如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,BE是⊙O的直径,连接BF,延长BA,过F作FG⊥BA,垂足为G.
(1)求证:FG是⊙O的切线;
(2)已知FG=2,求图中阴影部分的面积.
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【题目】某文具店最近有A,B两款毕业纪念册比较畅销,近两周的销售情况是:第一周A款销售数量是15本,B款销售数量是10本,销售总价是230元;第二周A款销售数量是20本,B款销售数量是10本,销售总价是280元.
(1)求A,B两款毕业纪念册的销售单价;
(2)若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本,求最多能够买多少本A款毕业纪念册.
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【题目】如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点B,点C均落在格点上,P为BC与网格线的交点,连接AP.
(Ⅰ)的长等于________;
(Ⅱ)为边上一点,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段AQ,使,并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)_______.
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【题目】AB为⊙O直径,C为⊙O上的一点,过点C的切线与AB的延长线相交于点D,CA=CD.
(1)连接BC,求证:BC=OB;
(2)E是中点,连接CE,BE,若BE=2,求CE的长.
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