【题目】如图,AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线PE,切点为M,过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接AM,则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)
①AM平分∠CAB;
②AM2=ACAB;
③若AB=4,∠APE=30°,则的长为;
④若AC=3,BD=1,则有CM=DM=.
【答案】①②④
【解析】
连接OM,由切线的性质可得OM⊥PC,继而得OM∥AC,再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得∠CAM=∠OAM,由此可判断①;通过证明△ACM∽△AMB,根据相似三角形的对应边成比例可判断②;求出∠MOP=60°,利用弧长公式求得的长可判断③;由BD⊥PC,AC⊥PC,OM⊥PC,可得BD∥AC//OM,继而可得PB=OB=AO,PD=DM=CM,进而有OM=2BD=2,在Rt△PBD中,PB=BO=OM=2,利用勾股定理求出PD的长,可得CM=DM=DP=,由此可判断④.
连接OM,
∵PE为⊙O的切线,
∴OM⊥PC,
∵AC⊥PC,
∴OM∥AC,
∴∠CAM=∠AMO,
∵OA=OM,
∠OAM=∠AMO,
∴∠CAM=∠OAM,即AM平分∠CAB,故①正确;
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AMB=90°,
∵∠CAM=∠MAB,∠ACM=∠AMB,
∴△ACM∽△AMB,
∴,
∴AM2=ACAB,故②正确;
∵∠APE=30°,
∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°,
∵AB=4,
∴OB=2,
∴的长为,故③错误;
∵BD⊥PC,AC⊥PC,OM⊥PC,
∴BD∥AC//OM,
∴△PBD∽△PAC,
∴,
∴PB=PA,
又∵AO=BO,AO+BO=AB,AB+PB=PA,
∴PB=OB=AO,
又∵BD∥AC//OM,
∴PD=DM=CM,
∴OM=2BD=2,
在Rt△PBD中,PB=BO=OM=2
∴PD==,
∴CM=DM=DP=,故④正确,
故答案为:①②④.
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【题目】如图,一段抛物线为,与轴交于,两点,顶点为;将绕点旋转180°得到,顶点为;与组成一个新的图象.垂直于轴的直线与新图象交于点,,与线段交于点,且,,均为正数,设,则的最大值是( )
A. 15B. 18C. 21D. 24
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【题目】“五一”小长假期间,小李一家想到以下四个5A级风景区旅游:A.石林风景区;B.香格里拉普达措国家公园;C.腾冲火山地质公园;D.玉龙雪山景区.但因为时间短,小李一家只能选择其中两个景区游玩
(1)若小李从四个景区中随机抽出两个景区,请用树状图或列表法求出所有可能的结果;
(2)在随机抽出的两个景区中,求抽到玉龙雪山风景区的概率.
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【题目】若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上,则称为的伴随函数,如:是的伴随函数.
(1)若是的伴随函数,求直线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4,求,的值.
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【题目】为响应国家的一带一路经济发展战略,树立品牌意识,我市质检部分别对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测,通过检测得出C厂家的合格率为95%,并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图:
(1)抽查D厂家的零件为 件,扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 度;
(2)抽查C厂家的合格率零件为 件,并将图1补充完整;
(3)通过计算说明A、C两厂家谁的合格率更高?
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【题目】甲、乙两台机器共同加工一批零件,一共用了小时.在加工过程中乙机器因故障停止工作,排除故障后,乙机器提高了工作效率且保持不变,继续加工.甲机器在加工过程中工作效率保持不变.甲、乙两台机器加工零件的总数(个)与甲加工时间之间的函数图象为折线,如图所示.
(1)这批零件一共有 个,甲机器每小时加工 个零件,乙机器排除故障后每小时加工 个零件;
(2)当时,求与之间的函数解析式;
(3)在整个加工过程中,甲加工多长时间时,甲与乙加工的零件个数相等?
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【题目】如图①,将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中,点的坐标是,点的坐标是,点的坐标是.点是的中点,在上取一点,将沿翻折,使点落在边上的点处.
(Ⅰ)求点、的坐标;
(Ⅱ)如图②,若点是线段上的一个动点(点不与点,重合),过点作于,设的长为,的面积为,试用关于的代数式表示;
(Ⅲ)在轴、轴上分别存在点、,使得四边形的周长最小,请直接写出四边形的周长最小值.
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【题目】图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°;
(2)在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).
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