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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点PAB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线PE,切点为M,过AB两点分别作PE的垂线ACBD,垂足分别为CD,连接AM,则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)

AM平分∠CAB

AM2ACAB

③若AB4,∠APE30°,则的长为

④若AC3BD1,则有CMDM.

【答案】①②④

【解析】

连接OM,由切线的性质可得OMPC,继而得OMAC,再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得∠CAM=∠OAM,由此可判断①;通过证明△ACM∽△AMB,根据相似三角形的对应边成比例可判断②;求出∠MOP60°,利用弧长公式求得的长可判断③;由BDPCACPCOMPC,可得BDAC//OM,继而可得PB=OB=AOPD=DM=CM,进而有OM=2BD2,在RtPBD中,PB=BO=OM=2,利用勾股定理求出PD的长,可得CMDMDP,由此可判断④.

连接OM

PE为⊙O的切线,

OMPC

ACPC

OMAC

∴∠CAM=∠AMO

OAOM

OAM=∠AMO

∴∠CAM=∠OAM,即AM平分∠CAB,故①正确;

AB为⊙O的直径,

∴∠AMB90°

∵∠CAM=∠MAB,∠ACM=∠AMB

∴△ACM∽△AMB

AM2ACAB,故②正确;

∵∠APE30°

∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE90°30°60°

AB4

OB2

的长为,故③错误;

BDPCACPCOMPC

BDAC//OM

∴△PBD∽△PAC

PBPA

又∵AO=BOAO+BO=ABAB+PB=PA

PB=OB=AO

又∵BDAC//OM

PD=DM=CM

OM=2BD2

RtPBD中,PB=BO=OM=2

PD==

CMDMDP,故④正确,

故答案为:①②④.

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