Question

已知抛物线与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．

（1）求抛物线解析式．

（2）直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M（x₁，y₁），N(x₂，y₂)（x₁＜x₂），当 最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．

（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L．若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．

 

Answer 1

 

(2)、由  ∴+(k－2)x－1=0   +=－(k－2)  ·=－1

∴   ∴当k=2时，的最小值为4

即的最小值为2     ∴－1=0   =1，=－1，即=4，=0

∴当最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)，N(1,4).

(3)、O(0,0)，B(3,0)，P(1,4)，C(0,3)   O、B、P、C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO

∵线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变    ∴要使L最小，只需BP+CO最短

如图，平移线段OC到BC′    四边形OBC′C是矩形    ∴C′(3,3)

做点P关于x轴对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′，设C′P′解析式为y=ax+n

∴   解得：   ∴y=

当y=0时，x=    ∴B′(，0)   有3－=   故点B向左平移，平移到B′

同时点O向左平移，平移到O′(－，0)

即线段OB向左平移时，周长L最短.

此时线段BP、CO之和最短为P′C′=，O′B′=OB=3   CP=

∴当线段OB向左平移，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为：++3.