Question

16．已知，平面直角坐标系中，点C的坐标为（-8，4），作CA⊥x轴于点A，CB⊥y轴于点B，将△AOB沿AB所在的直线翻折，得到△APB，点P为点O的对称点，AP与BC交于点E（如图①）．
（1）△AEB是等腰三角形，点E的坐标是（-5，4）；
（2）求点P的坐标及直线CP的解析式；
（3）作直线OC（如图②），点D是x轴负半轴上一点，过点D作直线l平行于y轴，分别交直线OC、CP于点M、N．问：y轴上是否存在一点F，使得△FMN为等腰直角三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质，得出∠EAB=∠BAO，再根据平行线性质得出∠EBA=∠BAO，可得∠EBA=∠EAB，得出是等腰三角形，再求出坐标即可；
（2）求点P的坐标，要根据面积公式，列出等积式，求得PH的长，从而求出PG的长，再根据勾股定理求出AG的长，得到P的横坐标，根据待定系数法求一次函数的解析式．
（3）因为△FMN为等腰直角三角形，所以∠MFN，∠FNM，∠FMN都有可能是直角，所以要分类讨论，再根据等腰三角形的性质，列出方程求出D点的横坐标．

解答 解：（1）如图1，根据翻折的性质：∠EAB=∠BAO，
∵BC∥AO，
∴∠EBA=∠BAO，
∴∠EAB=∠EBA，
∴AE=BE，
∵点C的坐标为（-8，4），
∴AC=4，BC=8，
设AE=BE=x，
则CE=8-X，
在Rt△ACE中，4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴点E的坐标为（-5，4），
故答案为：△ABE为等腰三角形，点E的坐标为（-5，4）；

（2）如图2，过点P作PG⊥AO于G，交BC于H，
则PG⊥BC，
∵AE=BE=5  AP=AO=8 
∴PE=3，
∵PB=OB=4，
∴PH=$\frac{12}{5}$，
∴PG=$\frac{32}{5}$，
∴AG=$\sqrt{{AP}^{2}{-PG}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∴$OG=\frac{16}{5}$，
∴P（-$\frac{16}{5}$，$\frac{32}{5}$），
设直线PC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4=-8k+b}\\{\frac{32}{5}=-\frac{16}{5}k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=8}\end{array}\right.$∴直线PC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+8；

（3）存在．
由已知条件求得直线OC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x，
∵点N、M分别在直线PC、OC上，
设N（x，$\frac{1}{2}$x+8）M（x，-$\frac{1}{2}$x），
则MN=x+8，
如图3，当FM=FN，∠FNM=90°时，
x+8=-x 解得：x=-4，
如图4，点H的坐标（0，8），
∴BH=BO，
∵直线MN∥y轴，
∴BC⊥MN，
∴点B与点F重合，
当BM=BN，∠MBN=90°时，
x+8=-2x，解得：x=-$\frac{8}{3}$，
综上所述：点D的坐标为：（-4，0）或（-$\frac{8}{3}$，0）．

点评 本题主要考查了图形的变换翻折、平面直角坐标系中点的坐标的求法、等腰直角三角形的判定和性质以及待定系数法求一次函数的解析式等知识的综合应用，要注意的是（3）中，要根据D点的不同位置进行分类求解．