Question

1．已知在等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=CD，交直线BC于点E．
（1）当点D在线段AB上时（如图1），求证：CE=AD+AC；
（2）当点D在线段BA的延长线上时（如图2），判断线段CE、AD、AC之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，DE交AC于点F，且AF：FC=1：8，CE=6，过点E作GE⊥BC交AB于点G，GF交CD于点H，求FH的长．

Answer 1

分析 （1）作DF∥BC交AC于F，证出DF=AD，证明△DFC≌△EBD，得出DF=BE，得出BE=AD，BE+BC=AD+AC，CE=AD+AC；
（2）过D作DF∥AC交BC延长线于F，证明△BDE≌△CDF，得BE=CF，则BE=AD，则CE=BC-BE=AC-AD；
（3）作DI∥AC，交BC的延长线于I，设AF=k，根据AF：FC=1：8，得到AC=9k，根据△CAD∽△DAF，得到DA²=AF×AC=9k²，从而得到DA=3k，进而得到3k+6=9k，求得k值后利用相似三角形对应边的比相等求得结论即可．

解答 解：（1）作DF∥BC交AC于F，如图1所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠DBE=120°，
∵DF∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∠AFD=∠ACB=60°，∠FDC=∠DCE，
∴∠A=∠ADF=∠AFD，∠DFC=120°，
∴△ADF是等边三角形，∠DFC=∠DBE，
∴DF=AD，
∵DE=DC，
∴∠E=∠DCE，
∴∠FDC=∠E，
在△DFC和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠DBE}\\{∠FDC=∠E}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△EBD（AAS），
∴DF=BE，
∴BE=AD，
∴BE+BC=AD+AC，CE=AD+AC；

（2）过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图2所示，
则∠BDF=∠，BAC=60°，∠F=ACB=60°，
∴∠BDF=∠F=∠ABC，
∴BD=BF，
∴AD=CF，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠F}\\{∠DEB=∠DCF}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE=CF，
∴BE=AD，
∴CE=BC-BE=AC-AD；

（3）作DI∥AC，交BC的延长线于I，交GH的延长线于点N，
设AF=k，
∵AF：FC=1：8，
∴AC=9k，
∵AC∥DI，
∴∠I=∠ACB=60°，∵∠B=60°，
∴△DBI是等边三角形，
∴BD=BI，∵BA=BC，
∴AD=CI=BE，
∵BD=DI，∠B=∠I，BE=CI，
∴△DBE≌△DIC，
∴∠BDE=∠CDI=∠DCA，
∵∠DAF=∠DAC，
∴△CAD∽△DAF，
∴DA²=AF×AC=9k²，
∴DA=3k，
∴BE=CI=3k，
则3k+6=9k，
解得：k=1，
∴BE=AD=3，
在Rt△BGE中，BG=2BE=6，
∵AB=AC=9，
∴AG=AD=3，
作GM⊥AC于M．
在Rt△AGM中，易知AM=$\frac{3}{2}$，GM=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵AF=1，
∴FM=$\frac{1}{2}$，
在Rt△FGM中，FG=$\sqrt{G{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵AG=AD，AF∥DN，
∴GF=FN=$\sqrt{7}$，GN=2$\sqrt{7}$，
∴由DN：FC=NH：HF
得到：FH=$\frac{16\sqrt{7}}{11}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法．