Question

13．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC三个顶点分别O（0，0），A（3，0），C（0，1）．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-$\frac{1}{2}x$+b交折线OAB（由线段OA、线段AB组成）于点E．
（1）点B的坐标为（3，1）；
（2）b的取值范围为1＜b＜$\frac{5}{2}$；
（3）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可知OA=BC，AB=OC，可求得B点坐标；
（2）分别求得直线DE过C、B两点对应的b的值，则可得出b的取值范围；
（3）由题意可知D到OA的距离是固定的，所以用b表示出OE的长，即可表示出△ODE的面积．

解答 解：（1）∵四边形OABC为长方形，
∴AB=OC，OA=BC，
又A（3，0），C（0，1），
∴OA=3，OC=1，
∴B点坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）；
（2）当直线DE过点C时，把C点代入y=-$\frac{1}{2}x$+b，可得b=1；
当直线过点B时，把B点代入y=-$\frac{1}{2}x$+b，可得-$\frac{3}{2}$+b=1，解得b=$\frac{5}{2}$，
∵点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），
∴b的取值范围为：1＜b＜$\frac{5}{2}$，
故答案为：1＜b＜$\frac{5}{2}$；
（3）①当E在OA上时，如图，

∵D是线段BC上的点，
∴D到OA的距离为OC的长，即△ODE的OE边上的高为OC=1，
在y=-$\frac{1}{2}x$+b中，令y=0可得x=2b，
∴OE=2b，
∴S=S_△ODE=$\frac{1}{2}$•OE•OC=$\frac{1}{2}$×2b×1=b；
②当E在AB上时，如图，

此时，E（3，b-$\frac{3}{2}$）、D（2b-2，1），
S=S_△ODE=$3×1-\frac{1}{2}×1×（2b-2）$-$\frac{1}{2}×（5-2b）×（\frac{5}{2}-b）$-$\frac{1}{2}$×3×（b-$\frac{3}{2}$）=$-{b}^{2}+\frac{5}{2}b$
∴S与b的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{b（1＜b＜\frac{3}{2}）}\\{-{b}^{2}+\frac{5}{2}b（\frac{3}{2}＜b＜\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查一次函数与四边形、三角形的综合应用，在（1）中掌握矩形的对边平行且相等是解题的关键，在（2）中利用函数解析式分别求得b的最大值和最小值是解题的关键，在（3）中确定出△ODE的OE边上的高为OC是解题的关键．本题难度不大，注重了基础知识的考查，在平时注意基础知识的掌握和运用..