Question

5．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax-3a，交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点B，∠ACB=45°
（1）求a的值；
（2）点D为线段AC上一点，且AD=2CD，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E，点P为x轴上方抛物线上的一点，设点P的横坐标为t，△PDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF∥DE交直线AC于点F，是否存在点P，使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得点A坐标（0，-3a），再求得点B，C坐标，根据∠ACB=45°，可得出a的值；
（2）根据a的值得出抛物线的解析式，由AD=2CD，DE∥y轴，得出D，E两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得出S与t之间的函数关系式，根据B，C两点坐标直接写出t的取值范围；
（3）假设抛物线上存在点P，使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形，求出直线AC的解析式，设出点P坐标，从而得出点F坐标，整理出关于h的方程，求出P点坐标，使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax-3a，交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点B，
∴A（0，-3a），
∵抛物线y=ax²-2ax-3a，交x轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点B，
∴x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
∴B（-1，0），C（3，0），
∴OC=3，
∵∠ACB=45°，
∴OA=3，
∴-3a=3，
∴a=-1，
故a的值为-1；
（2）∵a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
设DE与x轴交于点H，
∵DE∥y轴，AD=2CD，
∴$\frac{DH}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DH=CH=1，
∴D（2，1），
∵点E在抛物线上，
∴E（2，3），
∵点P为x轴上方抛物线上的一点，设点P的横坐标为t，
∴-1＜t＜3，
∵△PDE的面积为S，
∴$\frac{1}{2}$DE•|t-2|=S，
∴S=|t-2|（-1＜t＜3）；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得b=3，k=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
假设抛物线上存在点P，使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形，
设点P坐标为（h，-h²+2h+3），
∵PF∥DE，
∴PF=DE，
∴F（h，-h+3），
∴-h²+2h+3-（-h+3）=2，
∴h²-3h+2=0，
∴h₁=1，h₂=2，
∴抛物线上存在点P，使以点P、F、E、D为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（1，4）或（2，3）．

点评 本题主要考查了直角三角形的性质、二次函数解析式的确定以及相似三角形的判定和性质，要注意当情况不确定的情况下需要分类讨论，以免漏解．