Question

2．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的四边形称为三角形的内接四边形．”
（1）如图1，已知在三角形ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，四边形EFGH为三角形ABC的内接正方形．正方形EFGH的边长是x=$\frac{ah}{a+h}$．
（2）如图2，矩形EFGH内接于锐角三角形ABC，E，F在边BC上，G，分别落在AC，AB上，设BC=a，BC边上高AD=h，HG=x，HE=y，请写出y与x的关系式，并探索三角形内接矩形面积最大的条件．
（3）已知锐角三角形ABC，设其三边的长分别是a，b，c，且a＜b＜c，一边分别落在a，b，c上的内接正方形边长分别记为x_a，x_b，x_c，判断x_a，x_b，x_c，的大小关系x_a＞x_b＞x_c．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可得：HG∥BC，进而可得：△AHG∽△ABC，然后由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到：$\frac{AP}{AD}=\frac{HG}{BC}$，即$\frac{h-x}{h}=\frac{x}{a}$，从而可求正方形EFGH的边长x的值；
（2）类似（1）可得：△AHG∽△ABC，然后由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到：$\frac{AP}{AD}=\frac{HG}{BC}$，即$\frac{x}{a}=\frac{h-y}{h}$，进而可得y与x的关系式为：y=-$\frac{h}{a}x$+h；然后根据矩形的面积公式S=HG•HE=xy=-$\frac{h}{a}{x}^{2}+hx$，然后利用二次函数的最值公式即可；
（3）设△ABC的三条边上的对应高分别为h_a，h_b，h_c．由（1）、（2）可得：$\frac{{x}_{a}}{a}$=$\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，进而表示出x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+ha}$，同理x_b=$\frac{b{h}_{b}}{b+{h}_{b}}$，x_c=$\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，然后将它们作差，与0比较，进而得出x_a，x_b，x_c，的大小关系．

解答 解：如图1，

∵四边形EFGH为三角形ABC的内接正方形，
∴HG∥BC，HE=HG=FG=EF=x，
∵AD⊥BC，
∴AP⊥HG，
∴PD=HE=x，
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{HG}{BC}$，
即$\frac{h-x}{h}=\frac{x}{a}$，
∴x=$\frac{ah}{a+h}$，
故答案为：$\frac{ah}{a+h}$；
（2）如图2，

∵四边形EFGH为三角形ABC的内接矩形，
∴HG∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AP⊥HG，
∴PD=HE=y，
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{HG}{BC}$，
即：$\frac{x}{a}=\frac{h-y}{h}$，
∴y=-$\frac{h}{a}x$+h；
设矩形EFGH的面积为S，则S=HG•HE=xy=-$\frac{h}{a}{x}^{2}+hx$，
∵-$\frac{h}{a}$＜0，
∴S有最大值，
当x=$\frac{1}{2}a$时，y=$\frac{1}{2}$h，S_最大值=$\frac{1}{4}ah$，
即三角形内接矩形面积最大的条件为：x=$\frac{1}{2}a$，y=$\frac{1}{2}$h；
（3）设△ABC的三条边上的对应高分别为h_a，h_b，h_c．
由（1）、（2）可得：$\frac{{x}_{a}}{a}$=$\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，
∴x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+ha}$，
同理x_b=$\frac{b{h}_{b}}{b+{h}_{b}}$，x_c=$\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，
∵x_a-x_b=$\frac{a{h}_{a}}{a+{h}_{a}}$-$\frac{b{h}_{b}}{b+{h}_{b}}$=$\frac{2s}{a+{h}_{a}}$-$\frac{2s}{b+{h}_{b}}$=2S（$\frac{1}{a+{h}_{a}}$-$\frac{1}{b+{h}_{b}}$），
=$\frac{2s}{（a+{h}_{a}）（b+{h}_{b}）}•（b+{h}_{b}-a-{h}_{a}）$，
=$\frac{2s}{（a+{h}_{a}）（b+{h}_{b}）}•（b-a）（1-\frac{{h}_{a}}{b}）$，
∵b＞a，h_a＜b，
∴（b-a）（1-$\frac{{h}_{a}}{b}$）＞0，
即x_a-x_b＞0，
∴x_a＞x_b，
同理：x_b＞x_c，
∴x_a＞x_b＞x_c．
故答案为：x_a＞x_b＞x_c．

点评 此题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，主要应用了相似三角形的对应高的比等于相似比的性质．