Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD.

(1)求证：FD是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为5，sinF＝，求DF的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；

（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．

详解：（1）证明：∵∠CDB＝∠CAB,∠CDB＝∠BFD,

∴∠CAB＝∠BFD,

∴FD∥AC

∵∠AEO＝90° ∴∠FDO＝90°

∴FD是⊙O的切线；

(2)解：∵AE∥FD,AO＝BO＝5,

sinF＝ sin∠ACB＝

∴AB＝10,AC＝8,

∵DO⊥AC ∴AE＝EC＝4,AO＝5

∴EO＝3

∵AE∥DF ∴△AEO∽△FDO

∴＝，∴＝，

∴FD＝.