Question

如图所示，⊙O为△BCD的外接圆，BD=CD，CE为⊙O的直径，过D作⊙O的切线交BE的延长线于A，BD交CE于F，若AD=4，BE=6，求CF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结DO交BC于G，连结DE，作BM⊥CE于M，DN⊥CE于N，如图，由BD=CD得弧BD=弧DC，根据垂径定理的推论得到DG⊥BC，BG=CG，再根据切线的性质得OD⊥AD，根据圆周角定理得∠CBE=90°，于是可判断四边形ADGB为矩形，BG=AD=4，得到BC=2BG=8，在Rt△CBE中，利用勾股定理计算出CE=10，利用面积法计算出BM=

24

5

；接着根据切割线定理可计算出AE=2，得到AB=AE+BE=8，则DG=AB=8，于是利用勾股定理可计算出DE=2

5

，BD=4

5

，所以CD=4

5

，再利用面积法计算出DN=4，然后利用S_△BCD=S_△BCF+S_△DCF和三角形面积公式可计算出CF．

解答：解：连结DO交BC于G，连结DE，作BM⊥CE于M，DN⊥CE于N，如图，
∵BD=CD，
∴弧BD=弧DC，
∴DG⊥BC，
∴BG=CG，
∵DA为切线，
∴OD⊥AD，
∵CE为直径，
∴∠CBE=90°，
∴四边形ADGB为矩形，
∴BG=AD=4，
∴BC=2BG=8，
在Rt△CBE中，CE=

BE2+BC2

=10，
∵

1

2

BM•CE=

1

2

BC•BE，
∴BM=

6×8

10

=

24

5

，
∵AD²=AE•AB，
∴4²=AE（AE+6），解得AE=2，
∴AB=AE+BE=8，
∴DG=AB=8，
在Rt△ADE中，DE=

AE2+AD2

=2

5

，
在Rt△ADB中，BD=

AD2+AB2

=4

5

，
∴CD=4

5

，
∵

1

2

CD•DE=

1

2

DN•CE，
∴DN=

2 5 •4 5

10

=4，
∵S_△BCD=S_△BCF+S_△DCF，
即

1

2

BC•DG=

1

2

CF•BM+

1

2

CF•DN，
∴

24

5

CF+4CF=8•8，
∴CF=

80

11

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了三角形面积公式、圆周角定理、矩形的判定与性质．