Question

已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）如图所示，当点D在线段BC上时，求证：
①△AEB≌△ADC；
②EB∥GC；
（2）当点D在BC的延长线上时，作出图形，并直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）①易证∠DAE=∠BAC=60°，AB=AC，AD=AE，可得∠BAE=∠CAD，即可证明△AEB≌△ADC；
②根据△AEB≌△ADC可得∠ABE=∠ACD=60°，即可求得∠EBD=120°，根据∠EBD+∠C=180°即可解题；
（2）①易证∠DAE=∠BAC=60°，AB=AC，AD=AE，可得∠BAE=∠CAD，即可证明△AEB≌△ADC；
②根据△AEB≌△ADC可得∠ABE=∠ACD=60°，即可求得∠EBC=120°，根据∠EBC+∠C=180°即可解题．

解答：证明：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△AEB和△ADC中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AD=AE

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
②∵△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∵∠ABD=60°，
∴∠EBD=120°，
∵∠C=60°，
∴∠EBD+∠C=180°，
∴EB∥GC；
（2）作出图形，

①）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△AEB和△ADC中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AD=AE

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
②∵△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=120°，
∵∠C=60°，
∴∠EBC+∠C=180°，
∴EB∥GC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEB≌△ADC是解题的关键．