Question

（1）如图1，在△ABC和△ECD是等边△，则BE、AD之间的数量关系为

 

；∠DFE度数为

 

；请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．
（2）如图2，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=90°，M是CD的中点，连AM、BE交于F点，则BE、AM之间的数量关系为

 

；∠MFE度数是

 

；
（3）如图3，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=90°，N是BD的中点，连AN、NB，则AN、NE有何关系并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证△ACD是△BCE顺时针旋转60°来的，可得△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，即可求得∠DFE=60°；
（2）连接EM，则△CEM是等腰直角三角形，易证∠BCE=∠ACM，

BC

AC

=

CE

CM

，即可证明△BCE∽△ACM，可得

BE

AM

=

BC

AC

=

2

和∠CBE=∠CAM，即可求得∠MFE=45°；
（3）取BC中点F，取CD中点M，连接MN，AF，NF，EM，易证NF=EM，NM=AF，∠AFN=∠EMN，即可证明△AFN≌△NME，可得AN=EN，∠NAF=∠ENM，即可求得∠ENM+∠ANM=90°，即可解题．

解答：解：（1）∵△ABC和△ECD是等边△，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△ACD是△BCE顺时针旋转60°来的，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠DFE=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEF=∠ACB=60°；
故答案为 BE=AD，∠DFE=60°；
（2）连接EM，则△CEM是等腰直角三角形，

∴CE=

2

CM，∵∠ACB=45°=∠ECM，
∴∠BCE=∠ACM，
∵BC=

2

AC，
∴

BC

AC

=

2

=

CE

CM

，
∴△BCE∽△ACM，
∴

BE

AM

=

BC

AC

=

2

，
∠CBE=∠CAM，
∵∠BFM=∠BAF+∠ABF=∠BAC+∠CAM+∠ABF=90°+∠CBE+∠ABF=90°+∠ABC=135°，
∴∠MFE=45°；
故答案为

2

，45°；
（3）取BC中点F，取CD中点M，连接MN，AF，NF，EM，

∴NF，NM是△BCD的中位线，
∴NF=

1

2

CD=EM，NM=

1

2

BC=AF，
∵NF∥CD，NM∥BC，
∴四边形NFCM是平行四边形，
∴∠NFC=∠NMC，
∵∠AFC=90°=∠EMC，∴∠AFN=∠EMN，
∵在△AFN和△NME中，

NF=EM ∠AFN=∠EMN NM=AF

，
∴△AFN≌△NME，（SAS）
∴AN=EN，∠NAF=∠ENM，
∵MN∥BC，AF⊥BC，
∴MN⊥AF，
∴∠NAF+∠ANM=90°，
∴∠ENM+∠ANM=90°，即∠ANE=90°，
∴AN⊥EN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中构建并求证△AFN≌△NME是解题的关键．