Question

如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE．求证：AB=EF，且四边形AEBF是矩形．

Answer 1

考点：矩形的判定

专题：证明题

分析：根据等边三角形的性质可得AF=BD=BE，再求出∠EBF=∠AFB=90°，然后利用“边角边”证明△ABF和△EFB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=EF，再求出四边形AEBF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．

解答：证明：∵等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，
∴AF=BD，∠CBD=30°，
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°，
∴AF=BD=BE，∠EBF=∠AFB=90°，
在△ABF和△EFB中，

AF=BE ∠EBF=∠AFB=90° BF=FB

，
∴△ABF≌△EFB（SAS），
∴AB=EF，
∵∠AFB=∠EBF=90°，
∴AF∥BE，
又∵∠AF=BE，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵AB=EF，
∴四边形AEBF是矩形，
故AB=EF，且四边形AEBF是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．