Question

【题目】如图，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且经过点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连结、，求的面积；

（3）点是抛物线对称轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积为1；（3）、、 、

【解析】

（1）对称轴为直线x=1=-，解得：b=2，y=-x2+2x+c，将点A的坐标代入上式并解得：c=2，即可求解；

（2）点B（0，2），点C（1，3），△OBC的面积=×OBxC，即可求解；

（3）分AC=PA、AC=PC、PA=PC三种情况，分别求解即可．

（1）对称轴为直线x=1=-，解得：b=2，

∴y=-x2+2x+c，

将点的坐标代入上式得：-9+6+c=-1

解得：c=2，

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+2；

（2）对于y=-x2+2x+2，令x=0，则y=2

∴点B（0，2），

∵点C为顶点，对称轴为直线，

∴点C（1，3），

△OBC的面积=×OBxC=×2×1=1；

（3）设点P（1，m），点A（3，-1），点C（1，3），

AC2=20，PA2=4+（m+1）2，PC2=（m-3）2，

①当AC=PA时，20=4+（m+1）2，解得：m=3或-5；

②当AC=PC时，同理可得：m=3±2；

③当PA=PC时，同理可得：m=，

即点P的坐标为：（1，3）或（1，-5）或（1，3+2）或（1，3-2）或（1，）．