Question

5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连CM交BD于点N，ON=1，求BD的长．

Answer 1

分析 由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴MD：CB=DN：BN，
∵M为AD中点，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{MD}{CB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DN}{BN}=\frac{1}{2}$，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及平行四边形的各种性质是解本题的关键．