Question

【题目】如图，为等边三角形，、分别为、上的点，且．

（1）求证：；

（2）以为边作等边三角形，点在线段上的何处时，四边形是平行四边形且．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）D在线段BC上的中点，四边形CDEF是平行四边形,理由见解析．

【解析】

（1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．

（2）当，即为∠DCF＝30，在△BCF中，∠CFB＝90，即F为AB的中点，又因为△ACD≌△CBF，所以点D为BC的中点．

（1）由△ABC为等边三角形，AC＝BC，∠FBC＝∠DCA，

在△ACD和△CBF中，

，

所以△ACD≌△CBF（SAS）；

（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF＝30度

按上述条件作图，

连接BE，

在△AEB和△ADC中，

AB＝AC，∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝60，即∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，

∴△AEB≌△ADC（SAS），

又∵△ACD≌△CBF，

∴△AEB≌△ADC≌△CFB，

∴EB＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60，

∴△EFB为正三角形，

∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60，

又∵∠ABC＝60，

∴∠EFB＝∠ABC＝60，

∴EF∥BC，

而CD在BC上，

∴EF平行且相等于CD，

∴四边形CDEF为平行四边形，

∵D在线段BC上的中点，

∴F在线段AB上的中点，

∴∠FCD＝×60＝30

则∠DEF＝∠FCD＝30

∴当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且．