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【题目】如图,为等边三角形,分别为上的点,且

1)求证:

2)以为边作等边三角形,点在线段上的何处时,四边形是平行四边形且

【答案】1)见解析;(2D在线段BC上的中点,四边形CDEF是平行四边形,理由见解析.

【解析】

1)在△ACD和△CBF中,根据已知条件有两边和一夹角对应相等,可根据边角边来证明全等.

2)当,即为∠DCF30,在△BCF中,∠CFB90,即FAB的中点,又因为△ACD≌△CBF,所以点DBC的中点.

1)由△ABC为等边三角形,ACBC,∠FBC=∠DCA

在△ACD和△CBF中,

所以△ACD≌△CBFSAS);

2)当D在线段BC上的中点时,四边形CDEF为平行四边形,且角DEF30

按上述条件作图,

连接BE

在△AEB和△ADC中,

ABAC,∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD60,即∠EAB=∠DACAEAD

∴△AEB≌△ADCSAS),

又∵△ACD≌△CBF

∴△AEB≌△ADC≌△CFB

EBFB,∠EBA=∠ABC60

∴△EFB为正三角形,

EFFBCD,∠EFB60

又∵∠ABC60

∴∠EFB=∠ABC60

EFBC

CDBC上,

EF平行且相等于CD

∴四边形CDEF为平行四边形,

D在线段BC上的中点,

F在线段AB上的中点,

∴∠FCD×6030

则∠DEF=∠FCD30

∴当D在线段BC上的中点时,四边形CDEF为平行四边形,且

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