Question

如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AD=8cm，求△DBC的面积；
（3）当四边形CBFD为平行四边形时，过点A的直线把四边形CBFD的面积两等分，并交⊙O于另一点P，求AP的长度．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由CD⊥AB，BF∥CD可证得BF⊥AB，可得出结论；
（2）连接BD，在Rt△ABD中利用等积法可求得DE，则可求得CD，容易证明△ACE∽△DBE，再利用相似比可求得BE，则可计算出△DBC的面积；
（3）当四边形CBFD为平行四边形时，可证得CD=AB，即CD为直径，当过点A的直线把四边形CBFD的面积两等分时可知AP过BD的中点M，在Rt△ADM中可求得AM，再结合△ADM∽△BPM，可求得MP，可计算出AP的长度．

解答：（1）证明：
∵CD⊥AB，BF∥CD，
∴∠ABF=∠AED=90°，
∴BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：
如图1，连接BD，

∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，且AB=10cm，AD=8cm，
∴BD=6cm，
又AB•DE=AD•BD，即10DE=48，解得DE=CE=

24

5

cm，
∴CD=

48

5

cm，
∵∠CAE=∠BDE，∠CEA=∠BED，
∴△ACE∽△DBE，
∴

CE

BE

=

AC

BD

，且AC=AD，
∴

24 5

BE

=

8

6

，解得BE=

18

5

cm，
∴S_△DBC=

1

2

CD•BE=

1

2

×

48

5

×

18

5

=

432

25

；
（3）解：
如图2，当四边形CBFD为平行四边形时，连接BD，

则∠BCD=∠F=∠CDA=∠BAD=45°，
∴∠CAD=2∠BAD=90°，
∴CD为直径，
∴AE=ED=5cm，
∴AD=DB=5

2

cm，
当过点A的直线把四边形CBFD的面积两等分时，可知AP过BD的中点M，
∴DM=BM=

5 2

2

cm，在Rt△ADM中，由勾股定理可得AM=

AD2+DM2

=

(5 2 )2+( 5 2 2 )2

=

5 10

2

cm，
在△ADM和△BPM中，∠DAM=∠PBM，∠ADM=∠BPM，
∴△ADM∽△BPM，
∴

AM

BM

=

DM

PM

，即

5 10 2

5 2 2

=

5 2 2

PM

，解得PM=

10

2

cm，
∴AP=AM+PM=

5 10

2

+

10

2

=3

10

（cm）．

点评：本题主要考查切线的判定和相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、垂径定理、圆周角定理等知识的综合应用．掌握切线的两种证明方法，即有切点时连接切点证明垂直、无切点时作垂直证明距离等于半径；注意学会在复杂图形中找角相等．在第（3）问中确定出AP经过BD的中点是解题的关键，利用平行四边形的对称性即可得出．