Question

如图，在平面直角坐标系中圆O₁的圆心在x轴上，直径OA=2，直线OB交圆O₁于B，且∠BOA=15°                  
（1）求直线OB的解析式；                            
（2）求经过O、A、B三点的抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（3）动点Q从A点出发顺时针在半圆AQO上运动，速度为

π

9

长/秒，直线BQ交x轴于P，问经过多长时间PQ的长为1？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接BO₁，可知∠BO₁A=30°，过B作BC⊥OA于点C，可求得BC=

1

2

，O₁C=

3

2

，可求出OC，从而可得出B点的坐标，再利用待定系数法可求出直线OB的解析式；
（2）可求出O、A点的坐标，可利用两点式，再把B点的坐标代入可求出抛物线的表达式；
（3）因为半径为1，当PQ=1时，则可知BQ过点P，此时∠PO₁Q=150°，可求得弧AQ的长，再利用速度可求得时间．

解答：解：
（1）如图1，连接BO₁，

∴∠BOA=15°，
∴∠BO₁A=2∠BOA=30°，
过B作BC⊥OA于点C，
∵OA=1，
∴O₁B=1，
在Rt△O₁BC中可求得BC=

1

2

，O₁C=

3

2

，
∴OC=1+

3

2

，
∴B点坐标为（1+

3

2

，

1

2

），
设直线OB解析式为y=kx，则有

1

2

=（1+

3

2

）k，解得k=2-

3

，
∴直线OB的解析式为y=（2-

3

）x；
（2）∵OA=2，
∴A（0，2），且O（0，0），
设抛物线的解析式为y=ax（x-2），把B点坐标代入可得

1

2

=a（

3

2

+1）（

3

2

-1），解得a=-2，
∴抛物线解析式为y=-2x（x-2），即y=-2x²+4x；
（3）∵圆的半径为1，

如图2，当P点在O₁右侧时，∠PO₁Q为锐角，此时PQ＜O₁Q，
当P点在O₁左侧时，∠PO₁Q为锐角，此时PQ＜O₁Q，
∴只有当点P在O₁时，PQ=O₁Q=1，即BQ过O₁点，
此时∠QO₁A=180°-∠AO₁B=130°，
∴

AQ

的长为：

130π

180

=

13π

18

，
又Q点的速度为

π

9

长/秒，
∴Q点运动的时间为：

13π

18

÷

π

9

=6.5（秒），
即当时间为6.5秒时，PQ的长为1．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和圆周角定理、弧长的计算等知识的综合应用，掌握待定系数法是求函数解析的常用方法，在（1）（2）中求出B点的坐标是解题的关键；在（3）中确定出直线BQ的位置是解题的关键．