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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(abc为常数,且a0)经过AC两点,并与x轴的正半轴交于点B

(1)m的值及抛物线的函数表达式;

(2)P是抛物线对称轴上一动点,△ACP周长最小时,求出P的坐标;

(3)是否存在抛物在线一动点Q,使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由;

(4)(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1)M2(x2,y2)两点,试问是否为定值,如果是,请直接写出结果,如果不是请说明理由.

【答案】(1),y=x2+x+(2)(1,3)(3)存在,5.2 7.2;(4)是.

【解析】

试题(1)首先求得m的值和直线的解析式,根据抛物线对称性得到B点坐标,根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式;

(2)确定何时ACP的周长最小.利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决;确定P点坐标P(1,3),从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k;

(3)存在 Q(x,x2+x+)C为直角顶点, 则由ACO相似于△CQE,得x=5.2A为直角顶点,则由ACO相似于△AQE,得x=8.2从而求出Q点坐标.

4利用两点间的距离公式,分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度,相互比较即可得到结论:为定值.

试题解析(1)y=x+m经过点(-3,0),

0=+m,解得m=

直线解析式为y=x+,C(0,).

抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1,且与x轴交于A(-3,0),另一交点为B(5,0),

设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-5),

抛物线经过C(0,),

=a3(-5),解得a=

抛物线解析式为y=x2+x+

2)要使ACP的周长最小,只需AP+CP最小即可.图2,

连接BC交x=1于P点,因为点A、B关于x=1对称,根据轴对称性质以及两点之间线段最短,可知此时AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度).

B(5,0),C(0,),

直线BC解析式为y=x+

xP=1,yP=3,即P(1,3).

(3)3)存在 Q(x, x2+x+)

C为直角顶点, 则由ACO相似于△CQE,得x=5.2

A为直角顶点,则由ACO相似于△AQE,得x=8.2

∴Q的横坐标为5.2 7.2

(4)令经过点P(1,3)的直线为y=kx+b,则k+b=3,即b=3-k,

则直线的解析式是:y=kx+3-k,

y=kx+3-k,y=x2+x+

联立化简得:x2+(4k-2)x-4k-3=0,

x1+x2=2-4k,x1x2=-4k-3.

y1=kx1+3-k,y2=kx2+3-k,y1-y2=k(x1-x2).

根据两点间距离公式得到:

=4(1+k2).

同理

=4(1+k2).

M1PM2P=M1M2

为定值.

考点: 二次函数综合题.

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2)用这样的两个三角形构造图3的图形,你能利用这个图形证明出题(1)的结论吗?如果能,请写出证明过程;

3)当a3b4时,将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中,使直角顶点与原点重合,两直角边ab分别与x轴、y轴重合(如图4RtAOB的位置).点C为线段OA上一点,将△ABC沿着直线BC翻折,点A恰好落在x轴上的D处.

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②若△CMD为等腰三角形,点Mx轴上,请直接写出符合条件的所有点M的坐标.

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解答下列问题:

(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?

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A.B.C.D.

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