【题目】如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E 以 lcm/s 的速度从点 A 向点 D 运动,运动时间为 t(s),连结 BE,过点 E 作 EF⊥BE,交 CD 于 F,以 EF 为直径作⊙O.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)如图 2,连结 BF,交⊙O 于点 G,并连结 EG.已知 AB=4,AD=6.
①用含 t 的代数式表示 DF 的长
②连结 DG,若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形,求 t 的值;
(3)连结 OC,当 tan∠BFC=3 时,恰有 OC∥EG,请直接写出 tan∠ABE 的值.
【答案】(1)见解析;(2)①,②若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形,t 的值为 3 或 ;(3)tan∠ABE=1.
【解析】
(1)根据矩形的性质得到AD∥BC,∠A=∠ADC=90°,根据余角的性质即可得到结论;
(2)①根据相似三角形的性质即可得到结论;
②当EG=ED时,根据相似三角形的性质得到结论;当GE=GD时,根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论;
(3)如图2,过O作OH⊥CD于H,设CF=a,BC=3a,得到DE=3a-t,根据三角形的中位线的性质得到OH=DE=,根据三角函数的定义得到DF=7a-3t,AB=8a-3t,根据相似三角形的性质即可得到结论.
(1)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,∠A=∠ADC=90°,
∴∠AEB=∠1,
∵EF⊥BE,
∴∠AEB+∠DEF=90°,
∵∠2+∠DEF=90°,
∴∠AEB=∠2,
∴∠1=∠2;
(2)①∵∠A=∠ADC=90°,∠AEB=∠EFD,
∴△ABE∽△DEF,
∴,
∵AB=4,AE=t,DE=6﹣t,
∴,
∴,
②当 EG=ED 时,
∴∠EGD=∠EDG,
∵∠EGD=∠EFD,∠EDG=∠EFG,
∴∠EFD=∠EFG=∠AEB,
∵∠A=∠EDF=∠BEF,
∴△BAE∽△EDF∽△BEF,
∴==,
∴AE=DE,
∴t=6﹣t,
∴t=3;
当 GE=GD 时,∴∠GED=∠GDE,
∵∠EDG=∠BFE,∠GED=∠BFC,
∴∠BFE=∠BFC,
∵∠BEF=∠C=90°,BF=BF,
∴△BEF≌△BCF(AAS),
∴BE=BC=6,
∵AB2+AE2=BE2,
∴42+t2=62,
∴t=2;
综上所述,若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形,t 的值为 3 或 ;
(3)tan∠ABE=1,
理由:如图 2,过 O 作 OH⊥CD 于 H,
∵tan∠BFC==3,
设 CF=a,BC=3a,
∵AE=t,
∴DE=3a﹣t,
∵OH⊥CD,AD⊥CD,
∴OH∥DE,
∵OF=OE,
∴OH=DE=,
∵OC∥EG,EG⊥FG,
∴OC⊥FG,
∴tan∠COH=tan∠BFC=3,
∴CH=3OH=,FH=,
∴DF=7a﹣3t,AB=8a﹣3t,
由△ABE∽△DEF,得 , ,
解得t1=2a,t2=a,
当t=a时,8a-3t<0,不合题意,舍去;
当t=2a时,
∴tan∠ABE====1.
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【题目】我校“点爱”社团倡导全校学生参加“关注特殊儿童”自愿捐款活动,并对此次活动进行抽样调查,得到一组学生捐款情况的数据,将数据整理成如图所示的统计图(图中信息不完整).已知A、B两组捐款人数的比为1:5.请结合以上信息解答下列问题.
组别 | 捐款额x/元 | 人数 |
A | 1≤x<10 | |
B | 10≤x<20 | 100 |
C | 20≤x<30 | |
D | 30≤x<40 | |
E | x≥40 |
(1)a= ,本次抽样调查样本的容量是 ;
(2)补全“捐款人数分组统计图1”;
(3)若记A组捐款的平均数为5元,B组捐款的平均数为15元,C组捐款的平均数为25元,D组捐款的平均数为35元,E组捐款的平均数为50元,全校共有2000名学生参加此次活动,请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元.
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【题目】如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
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【题目】某中学团委会开展书法、诵读、演讲、征文四个项目(每人只参加一个项目)的比赛,初三(1)班全体同学都参加了比赛,为了解比赛的具体情况,小明收集整理数据后,绘制了以下不完整的折线统计图和扇形统计图,根据图表中的信息解答下列各题:
(1)初三(1)班的总人数为 ,扇形统计图中“征文”部分的圆心角度数为 度;
(2)请把折线统计图补充完整;
(3)平平和安安两个同学参加了比赛,请用“列表法”或“画树状图法”,求出他们参加的比赛项目相同的概率.
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【题目】如图,在ABCD 中,E 是 DC 上一点,连接 AE.F 为 AE 上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD.
(2)已知 AF=2,FE=3,AB=4,求 DE 的长.
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【题目】如图,建筑物AB后有一座假山,其坡度为,山坡上E点处有一凉亭,测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米,与凉亭距离CE=20米,某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°.
(1)E点到水平地面的距离EF;
(2)建筑物AB的高.(结果精确到0.1,)
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【题目】已知抛物线
(1)若求该抛物线与x轴的交点坐标;
(2)若,是否存在实数,使得相应的y=1,若有,请指明有几个并证明你的结论,若没有,阐述理由。
(3)若且抛物线在区间上的最小值是-3,求b的值。
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【题目】已知,如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB,
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值;
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点分别为A(0,1),B(-1,0),C(0,-1),D(1,0).对于图形M,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距”,记作.
(1)已知点,
①直接写出的值;
②直线与x轴交于点F,当取最小值时,求k的取值范围;
(2)的圆心为 ,半径为1.若,直接写出t的取值范围.
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