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【题目】如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E lcm/s 的速度从点 A 向点 D 运动,运动时间为 ts),连结 BE,过点 E EFBE,交 CD F,以 EF 为直径作O

1)求证:∠1=∠2

2)如图 2,连结 BF,交O 于点 G,并连结 EG.已知 AB4AD6

用含 t 的代数式表示 DF 的长

连结 DG,若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形,求 t 的值;

3)连结 OC,当 tanBFC3 时,恰有 OCEG,请直接写出 tanABE 的值.

【答案】1)见解析;(2若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形,t 的值为 3 ;(3tanABE1.

【解析】

1)根据矩形的性质得到ADBC,∠A=ADC=90°,根据余角的性质即可得到结论;

2)①根据相似三角形的性质即可得到结论;

②当EG=ED时,根据相似三角形的性质得到结论;当GE=GD时,根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论;

3)如图2,过OOHCDH,设CF=aBC=3a,得到DE=3a-t,根据三角形的中位线的性质得到OH=DE=,根据三角函数的定义得到DF=7a-3tAB=8a-3t,根据相似三角形的性质即可得到结论.

1四边形 ABCD 是矩形,

ADBCAADC90°

∴∠AEB∠1

EFBE

∴∠AEB+∠DEF90°

∵∠2+∠DEF90°

∴∠AEB∠2

∴∠1∠2

2①∵∠AADC90°AEBEFD

∴△ABE∽△DEF

AB4AEtDE6t

EGED 时,

∴∠EGDEDG

∵∠EGDEFDEDGEFG

∴∠EFDEFGAEB

∵∠AEDFBEF

∴△BAE∽△EDF∽△BEF

AEDE

t6t

t3

GEGD 时,∴∠GEDGDE

∵∠EDGBFEGEDBFC

∴∠BFEBFC

∵∠BEFC90°BFBF

∴△BEF≌△BCFAAS),

BEBC6

AB2+AE2BE2

∴42+t262

t2

综上所述,若EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形,t 的值为 3

3tan∠ABE1

理由:如图 2,过 O OHCD H

∵tan∠BFC3

CFaBC3a

AEt

DE3at

OHCDADCD

OHDE

OFOE

OHDE

OCEGEGFG

OCFG

∴tan∠COHtan∠BFC3

CH3OHFH

DF7a3tAB8a3t

ABE∽△DEF,得

解得t1=2a,t2=a

t=a时,8a-3t<0,不合题意,舍去;

t=2a时,

∴tan∠ABE1

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组别

捐款额x/

人数

A

1≤x10

B

10≤x20

100

C

20≤x30

D

30≤x40

E

x≥40

1a= ,本次抽样调查样本的容量是

2)补全捐款人数分组统计图1”

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