【题目】已知抛物线
(1)若求该抛物线与x轴的交点坐标;
(2)若,是否存在实数,使得相应的y=1,若有,请指明有几个并证明你的结论,若没有,阐述理由。
(3)若且抛物线在区间上的最小值是-3,求b的值。
【答案】(1),和;(2)即存在两个不同实数,使得相应;(3)或.
【解析】
(1)先将a=b=1,c=-1代入y=3ax2+2bx+c,得到抛物线为y=3x2+2x-1,再用因式分解法求出方程3x2+2x-1=0的两个根,即可得到该抛物线与x轴的交点坐标;
(2)将y=1代入y=3ax2+2bx+c,得到3ax2+2bx+c=1,则△=4b2-12a(c-1),再将c-1=-a-b代入△,整理得到△=,由a≠0,得出△>0,根据一元二次方程根与系数的关系可知方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根,即存在两个不同实数x0,使得相应的y=1;
(3)先将代入y=3ax2+2bx+c,得到抛物线为y=x2+2bx+b+2,根据二次函数的性质求出其对称轴为x=-b,再分三种情况进行讨论:①x=-b<-2;②x=-b>2;③-2≤-b≤2.
解(1)当,时,抛物线为,
∵方程的两个根为,.
∴该抛物线与轴公共点的坐标是和;
(2)存在两个不同实数x0,使得相应的y=1.理由如下:
由得, 即,
,
,
∴,
所以方程有两个不相等实数根,
即存在两个不同实数,使得相应;
(3),则抛物线可化为,其对称轴为,分三种情况:
①当时,即,则有抛物线在时取最小值为-3,此时,解得,合题意;
②当时,即,则有抛物线在时取最小值为-3,此时,解得,不合题意,舍去;
③当时,即,则有抛物线在时取最小值为-3,此时,化简得:,解得:(不合题意,舍去),;
综上:或.
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【题目】若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”,这个四边形叫“巧妙四边形”,若一个四边形有两条巧分线,则称为“绝妙四边形.
(1)下列四边形一定是巧妙四边形的是 .(填序号)
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形.
(初步应用)
(2)如图,在绝妙四边形ABCD中,AC=AD,且AC垂直平分BD,若∠BAD=80°,求∠BCD的度数.
(深入研究)
(3)在巧妙四边形ABCD中,AB=AD=CD,∠A=90°,AC是四边形ABCD的巧分线,请直接写出∠BCD的度数.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E 以 lcm/s 的速度从点 A 向点 D 运动,运动时间为 t(s),连结 BE,过点 E 作 EF⊥BE,交 CD 于 F,以 EF 为直径作⊙O.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)如图 2,连结 BF,交⊙O 于点 G,并连结 EG.已知 AB=4,AD=6.
①用含 t 的代数式表示 DF 的长
②连结 DG,若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形,求 t 的值;
(3)连结 OC,当 tan∠BFC=3 时,恰有 OC∥EG,请直接写出 tan∠ABE 的值.
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【题目】如图,A是以BC为直径的⊙O上的一点,AD⊥BC于点D,过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点E,点F是EB的中点,连结CF交AD于点G
(1)求证:AF是⊙O的切线;
(2)求证:AG=GD;
(3)若FB=FG,且⊙O的半径长为3,求BD.
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【题目】如图,二次函数y=﹣(x﹣2)2+b的图象与x轴分别相交于A、B两点,点A的坐标为(﹣1,0),与y轴交于点C.
(1)求b的值;
(2)抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,点P(2,m)是线段EF上一动点,Q(n,0)在x轴上,且n<2,若∠QPC=90°,求n的最小值.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象交于A(1,4),B(4,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出当x>0时,的解集.
(3)点P是x轴上的一动点,试确定点P并求出它的坐标,使PA+PB最小.
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【题目】课堂上,老师给出一道题:如图,将抛物线C:y=x2﹣6x+5在x轴下方的图象沿x轴翻折,翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G,已知直线l:y=x+m与图象G有两个公共点,求m的取值范围甲同学的结果是﹣5<m<﹣1,乙同学的结果是m>.下列说法正确的是( )
A.甲的结果正确
B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确
D.甲、乙的结果合在一起也不正确
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【题目】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于的长为半径在AD的两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连结MN,分别交AB、AC于点E、F;第三步,连结DE、DF..若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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