[题目]若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形.则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线 .这个四边形叫“巧妙四边形 .若一个四边形有两条巧分线.则称为“绝妙四边形．(1)下列四边形一定是巧妙四边形的是．①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形．(2)如图.在绝妙四边形ABCD中.AC＝AD.且AC垂直平分BD.若∠BAD＝80°.求∠BCD的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形．

（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是　．（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．

（初步应用）

（2）如图，在绝妙四边形ABCD中，AC＝AD，且AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．

（深入研究）

（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．

【答案】（1）③④；（2）∠BCD＝140°；（3）∠BCD的度数是45°或135°或90°．

【解析】

（1）根据题意，“巧妙四边形”需是邻边相等是四边形，由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质可求解；

（2）由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，即可求∠BCD的度数；

（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和“绝妙四边形的定义可求解．

（1）∵菱形的四条边相等，

∴连接对角线能得到两个等腰三角形，

∴菱形是巧妙四边形；

正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；

故答案是：③④；

【初步应用】

（2）∵AC垂直平分BD，

∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，

∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，

∵∠BAD＝80°，

∴∠BAC＝∠DAC＝40，

∵AC＝AD，

∴∠ACD＝70°＝∠BCA，

∴∠BCD＝140°，

【深入研究】

（3）∵AC是四边形ABCD的巧分线，

∴△ACD和△ABC是等腰三角形，

①当AC＝BC时，如图，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，

∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°

∴四边形AHCG是矩形，

AH＝CG＝AB＝CD

∴∠CDG＝30°，

∴∠ADC＝150°

∴∠DAC＝∠DCA＝15°

∵∠DAB＝90°，

∴∠CAB＝∠B＝75°，且∠ACB＝30°

∴∠BCD＝30°+15°＝45°；

②当AC＝AB时，如图

∵AC＝AB＝AD＝CD

∴△ACD是等边三角形，

∠CAD＝∠ACD＝60°

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝30°，

∵AB＝AC

∴∠ACB＝75°，

∴∠BCD＝75°+60°＝135°；

③当AB＝BC时，如图

∵AB＝AD＝CD＝BC

∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝90°，

∴四边形ABCD是正方形

∴∠BCD＝90°

综上所述：∠BCD的度数是45°或135°或90°．

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B	10≤x＜20	100
C	20≤x＜30
D	30≤x＜40
E	x≥40

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（2）补全“捐款人数分组统计图1”；

（3）若记A组捐款的平均数为5元，B组捐款的平均数为15元，C组捐款的平均数为25元，D组捐款的平均数为35元，E组捐款的平均数为50元，全校共有2000名学生参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元．

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