【题目】若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（初步应用）
（2）如图，在绝妙四边形ABCD中，AC＝AD，且AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
（深入研究）
（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【答案】（1）③④；（2）∠BCD＝140°；（3）∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【解析】
（1）根据题意，“巧妙四边形”需是邻边相等是四边形，由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质可求解；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，即可求∠BCD的度数；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和“绝妙四边形的定义可求解．
（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案是：③④；
【初步应用】
（2）∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠DAC＝40，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝70°＝∠BCA，
∴∠BCD＝140°，
【深入研究】
（3）∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°
∴四边形AHCG是矩形，
AH＝CG＝
AB＝CD
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°
∴∠DAC＝∠DCA＝15°
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，且∠ACB＝30°
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图
∵AC＝AB＝AD＝CD
∴△ACD是等边三角形，
∠CAD＝∠ACD＝60°
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝AC
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图
∵AB＝AD＝CD＝BC
∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形
∴∠BCD＝90°
综上所述：∠BCD的度数是45°或135°或90°．
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【题目】国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实情况，有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（小时）进行分组（A组：t＜0.5，B组：0.5≤t＜1，C组：1≤t＜1.5，D组：t≥1.5），绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）此次抽查的学生数为 人，并补全条形统计图；
（2）从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是 ；
（3）若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有 人．
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【题目】如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
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【题目】我校“点爱”社团倡导全校学生参加“关注特殊儿童”自愿捐款活动，并对此次活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．请结合以上信息解答下列问题．
组别 | 捐款额x/元 | 人数 |
A | 1≤x＜10 | |
B | 10≤x＜20 | 100 |
C | 20≤x＜30 | |
D | 30≤x＜40 | |
E | x≥40 |
（1）a= ，本次抽样调查样本的容量是 ；
（2）补全“捐款人数分组统计图1”；
（3）若记A组捐款的平均数为5元，B组捐款的平均数为15元，C组捐款的平均数为25元，D组捐款的平均数为35元，E组捐款的平均数为50元，全校共有2000名学生参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元．
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，OABC的对角线OB在y轴正半轴上，点A，C分别在函数y＝
（x＞0），y＝
（x＜0）的图象上，分别过点A，C作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，若|k1|：|k2|＝9：4，则AD：CE的值为（ ）
A.2：3B.3：2C.4：9D.9：4
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【题目】已知矩形ABCD，AB=10，AD=8，G为边DC上任意一点，连结AG，BG，以AG为直径作⊙P分别交BG，AB于点E，H，连结AE，DE．
（1）若点E为弧GH的中点，证明：AG=AB．
（2）若△ADE为等腰三角形时，求DG的长．
（3）作点C关于直线BG的对称点C′．
①当点C落在线段AG上时，设线段AG，DE交于点F，求△ADF与△AEF的面积之比；
②在点G的运动过程中，当点C′落在四边形ADGE内时（不包括边界），则DG的范围是 （直接写出答案）
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【题目】如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为
米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
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【题目】已知抛物线
（1）若
求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若
，是否存在实数
,使得相应的y=1，若有，请指明有几个并证明你的结论，若没有，阐述理由。
（3）若
且抛物线在
区间上的最小值是-3，求b的值。
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