如图.在平面直角坐标系中.AB∥CD∥x轴.BC∥DE∥y轴.且AB=CD=4.OA=4.DE=2.动点P从点A出发.沿A→B→C路线运动到点C停止,动点Q从点O出发.沿O→E→D→C路线运动到点C停止,若P.Q两点同时出发.且点P的运动速度为每秒1个单位.点Q的运动速度为每秒2个单位．(1)当P.Q两点出发$\frac{11}{2}$s时.试求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB=CD=4，OA=4，DE=2，动点P从点A出发，沿A→B→C路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿O→E→D→C路线运动到点C停止；若P、Q两点同时出发，且点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒2个单位．
（1）当P、Q两点出发$\frac{11}{2}$s时，试求△PQC的面积；
（2）设两点运动的时间为t，用t的式子表示运动过程中△OPQ的面积S；
（3）y轴上是否存在点M，使得以O、B、M三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在请求出∠OBM的度数；若不存在，请说明理由．

分析（1）先求出点P、Q的坐标，再求出CP、CQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）分①0≤t＜4时点P在AB上，点Q在OE上，利用三角形面积公式列式即可；
②4≤t＜5时，点P在BC上，点Q在DE上，过点P作PM∥CD交DE的延长线于M，根据S_△OPQ=S_梯形OPMB-S_△PMQ-S_△OEQ，列式整理即可；
③5≤t≤6时，点P在BC上，点Q在CD上，过点P作PF∥CD，过点Q作QF∥OA交PF于F，交OE于G，S_△OPQ=S_梯形OPFG-S_△PFQ-S_△OGQ，列式整理即可得解，
④6＜t＜$\frac{20}{3}$时，点P，Q都在CD上，直接用三角形的面积公式即可．
（3）分三种先求出点M的坐标，利用等腰三角形的性质直接求出∠OBM．

解答（1）当t=$\frac{11}{2}$s时，点P运动的路程为$\frac{11}{2}$，
点Q运动的路程为$\frac{11}{2}$×2=11，
所以，P（4，$\frac{5}{2}$），Q（7，2），
∴CP=$\frac{1}{2}$，CQ=3，
∴S_△CPQ=$\frac{1}{2}$CP•CQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{4}$，

（2）由题意得，
①
当0≤t＜4时，（如图1）OA=4，OQ=2t，
S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•OA=$\frac{1}{2}$×2t×4=4t；
②
当4≤t＜5时，（如图2）OE=8，EM=8-t，PM=4，MQ=16-3t，EQ=2t-8，
S_△OPQ=S_梯形OPMB-S_△PMQ-S_△OEQ，
=$\frac{1}{2}$（4+8）×（8-t）-$\frac{1}{2}$×4×（16-3t）-$\frac{1}{2}$×8（2t-8），
=48-8t；
③
当5≤t≤6时，（如图3）PF=14-2t，FQ=7-t，QG=2，OG=18-2t，FG=8-t，
S_△OPQ=S_梯形OPFG-S_△PFQ-S_△OGQ，
=$\frac{1}{2}$×（14-2t+18-2t）×（8-t）-$\frac{1}{2}$×（14-2t）（7-t）-$\frac{1}{2}$（18-2t）×2，
=t²-16t+61，
④
当6＜t＜$\frac{20}{3}$时，如图4，PQ=20-3t，DE=2，
S_△OPQ=$\frac{1}{2}$PQ×DE=$\frac{1}{2}$（20-3t）×2=20-3t
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{4t（0≤t＜4）}\\{48-8t（4≤t＜5）}\\{{t}^{2}-16t+61（5≤t≤6）}\\{20-3t（6＜t＜\frac{20}{3}）}\end{array}\right.$，
（3）如图，

由题意得点B（4，4），
∴OB=4$\sqrt{2}$，
设点M（0，m），
∴OM=|m|，BM=$\sqrt{（m-4）^{2}+16}$，
∵以O、B、M三点为顶点的三角形是等腰三角形，
∴①当OB=OM时，
∴|m|=4$\sqrt{2}$，
∴m=4$\sqrt{2}$或m=-4$\sqrt{2}$，
Ⅰ、m=4$\sqrt{2}$时，M₁（0，4$\sqrt{2}$），
∴∠OBM₁=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
Ⅱ、m=-4$\sqrt{2}$时，M₂（0，-4$\sqrt{2}$），
∴∠OBM₂=$\frac{∠AOB}{2}$=$\frac{45°}{2}$=22.5°
②当OB=PM时，
∴4$\sqrt{2}$=$\sqrt{（m-4）^{2}+16}$，
∴m=0（舍）或m=8，
∴M₃（0，8），
∴∠BM₃O=∠BOM₃=45°，
∴∠OBM₃=90°
③当OM=PM时，
∴|m|=$\sqrt{（m-4）^{2}+16}$，
∴m=4，
∴M₄（0，4），此时点M₄和点A重合，
∴∠OBM₄=∠OBA=45°．

点评此题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，难点在于（3）根据点P、Q的位置，分情况讨论．

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