【题目】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在△ABC 中，若 AB＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DE＝AD，再连接 BE（或将△ACD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD），把 AB、AC、2AD 集中在△ABE 中， 利用三角形的三边关系可得 2＜AE＜8，则 1＜AD＜4．
（感悟）解题时，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中 心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（解决问题）受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图 2，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点， DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF．
（1）求证：BE＋CF＞EF，
（2）若∠A＝90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系，并加以证明．、
【答案】（1）见解析；（2）
，见解析
【解析】
（1）延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），利用三角形的三边关系即可解决问题；
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，在Rt△EBG中，根据BE2+BG2=EG2，即可解决问题；
解：（1）延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG，DF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴BE2+CF2=EF2；
小学课时特训系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P．
（1）求劣弧PC的长（结果保留π）；
（2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）.
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2，0)，点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=-
x2+mx+n的图象经过A，C两点.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求证：∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍.若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=
∠BCD；②EF=CF；③
；④∠DFE=4∠AEF．
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④
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【题目】△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．
（2）将△ABC向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）若点M是平面直角坐标系中直线AB上的一个动点，点N是x轴上的一个动点，且以O、A2、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
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【题目】在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A. (80+2x)(50+2x)=5400 B. (80－x)(50－x)=5400
C. (80+x)(50+x)=5400 D. (80－2x)(50－2x)=5400
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【题目】如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为8，宽AB为4．
（1）求证：△AEF是等腰三角形．
（2）EF＝ ．
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【题目】如图，△ABC 中，∠BAC=9 0°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ABD 沿 AD 翻折得到△AED，连 CE，则线段 CE 的长等于（ ）
A. 2 B. 
C. 
D. 
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【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．
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