Question

13．现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易得BP：QP：QR=3：1：2．
（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，则BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2
（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP：PQ：QR：RS：ST=5：1：4：2：3．

Answer 1

分析 （1）首先证明△BCQ∽△BES，从而可求得CQ=$\frac{1}{4}EF$，DQ=$\frac{3}{4}$EF，然后证明△BAP∽△QDR得到BP：QR=4：3从而可知：BP：PQ：QR=4：1：3，然后由DQ∥SE，可知：QR：RS=DQ：SE=3：2，从而可求得BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2；
（2）由AC∥DE∥GF，可知：△BPC∽△BER∽BTG，能够求得：AP：DR：FT=5：4：3，然后再证明△BAP∽△QDR∽△SFT．求得BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3，因为BP：QR：RT=5：4：5，所以可求得：BP：PQ：QR：RS：ST=5：1：4：2：3．

解答 解：（1）∵四个直角三角形是全等三角形，
∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE，
∴BP：PR=BC：CE=1，
∵CD∥EF，
∴△BCQ∽△BES．
又∵BC=CE
∴CQ=$\frac{1}{2}SE$=$\frac{1}{4}EF$，
∴DQ=$\frac{3}{4}EF$
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠DQR．
又∵∠BAP=∠QDR，
∴△BAP∽△QDR．
∴BP：QR=4：3．
∴BP：PQ：QR=4：1：3，
∵DQ∥SE，
∴QR：RS=DQ：SE=3：2，
∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2．
故答案为：4：1：3：2；
（2）∵五个直角三角形是全等直角三角形
∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AC=DE=GF，AC∥DE∥GF，
BC=CE=EG，
∴BP=PR=RT，
∵AC∥DE∥GF，
∴△BPC∽△BER∽BTG，
∴PC=$\frac{1}{3}TG$=$\frac{1}{6}FG$，RE=$\frac{2}{3}TG$=$\frac{1}{3}$FG，
∴AP=$\frac{5}{6}FG$，DR=$\frac{2}{3}FG$，FT=$\frac{1}{2}FG$
∴AP：DR：FT=5：4：3．
∵AC∥DE∥GF，
∴∠BPA=∠QRD=∠STF．
又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT，
∴△BAP∽△QDR∽△SFT．
∴BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3．
又∵BP：QR：RT=5：4：5，
∴BP：PQ：QR：RS：ST=5：（5-4）：4：（5-3）：3=5：1：4：2：3．
故答案为：5：1：4：2：3．

点评 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，找出图中的相似三角形，求得相应线段之间的比例关系是解题的关键．