Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，点F为斜边AB上的一点，连接CF，CD平分∠ACF交AB于点D，点E在AC上，且有∠CFD=∠CDE．
（1）如图1，当点F为斜边AB的中点时，求CE的长；
（2）将点F从AB的中点沿AB方向向左移动到点B，其余条件不变，如图2．
①求点E所经过的路径长；
②求线段DE所扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）首先根据等边三角形的特征，判断出ACF是等边三角形；然后根据CD平分∠ACF，可得CD⊥AF，据此求出CD的值是多少；最后根据相似三角形判定的方法，判断出△CFD∽△CDE，即可判断出$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{CD}$，据此求出CE的长度是多少即可．
（2）①如图2，过D作DG⊥CF于G，过E作EH⊥CD于H，由点F与点B重合，得到∠ACB=∠ACF=90°，CD平分∠ACF交AB于点D，得到∠FCD=∠ACD=45°，于是得到△CDG与△CHE是等腰直角三角形，通过解直角三角形得到CE=4$\sqrt{3}$-6，于是求出点E所经过的路径长=1.5-（4$\sqrt{3}$-6）=$\frac{15}{2}-4\sqrt{3}$；②如图，过C作CM⊥AB于M，过M作MN⊥AC于N，由（1）知CM=$\sqrt{3}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则AN=$\frac{1}{2}$，由①知，DF=2DG=6-2$\sqrt{3}$，求得AD=4-（6-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
于是得到线段DE所扫过的面积=S_△ACD-S_△CDE-S_△AMN=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}-2）×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×（3\sqrt{2}-\sqrt{6}）×（2\sqrt{6}-3\sqrt{2}）$-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得结论线段DE所扫过的面积=18-$\frac{81\sqrt{3}}{8}$．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，AC=2，
∴AB=2÷sin30°=4，
∵点F为斜边AB的中点，
∴CF=BF=AF=2，
又∵AC=2，
∴△ACF是等边三角形，
∵CD平分∠ACF，
∴CD⊥AF，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，
在△CFD和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠CDE}\\{∠FCD=∠DCE}\end{array}\right.$
∴△CFD∽△CDE，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{CD}$，
∴CE=$\frac{{CD}^{2}}{CF}$=$\frac{{（\sqrt{3}）}^{2}}{2}=\frac{3}{2}=1.5$．

（2）①如图2，过D作DG⊥CF于G，过E作EH⊥CD于H，
∵∠ACB=∠ACF=90°，CD平分∠ACF交AB于点D，
∴∠FCD=∠ACD=45°，
∴CG=CD，CH=HE，
设CG=CD=x，CH=HE=y，
∵∠CFD=∠CDE=30°，
∴FG=$\sqrt{3}$x，DH=$\sqrt{3}$y，
∴x+$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
∴x=3-$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{2}$x=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
∴y+$\sqrt{3}$y=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
∴y=2$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$，
∴CE=4$\sqrt{3}$-6，
∴点E所经过的路径长=1.5-（4$\sqrt{3}$-6）=$\frac{15}{2}-4\sqrt{3}$；
②如图，过C作CM⊥AB于M，过M作MN⊥AC于N，
由（1）知CM=$\sqrt{3}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则AN=$\frac{1}{2}$，
由①知，DF=2DG=6-2$\sqrt{3}$，
∴AD=4-（6-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
∴线段DE所扫过的面积=S_△ACD-S_△CDE-S_△AMN=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}-2）×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×（3\sqrt{2}-\sqrt{6}）×（2\sqrt{6}-3\sqrt{2}）$-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴线段DE所扫过的面积=18-$\frac{81\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了轨迹问题，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．