Question

已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是斜边AB上一动点，过点P作CP的垂线，垂直为D，AD的延长线交边CB于点E．
（1）如图1，若∠PCB=22.5°，求证：AC+CE=AB；
（2）如图2，若∠PCB=30°，过点B作CP的垂线，垂足为F，求证：CF=3DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接PE，先利用同角的余角相等得到∠BAE=∠CAE，从而证得△ACD≌△APD，得到AC=AP，再证明△ACE≌△APE，得到∠APE=∠ACE=90，得到∠PEB=∠PBE=45°得到EP=BP=CE，从而得出结论；（2）先利用直角三角形的性质，可证得AD=3DE，再证明△ACD≌△CBF，得到CF=AD，即可得到结论．

解答：解：（1）∵∠PCB=22.5°，∠CAE+∠ACD=90°，∠PCB+∠ACD=90°
∴∠CAE=22.5°
∴∠BAE=45°-22.5°=22.5°，
∴∠BAE=∠CAE
在△ACD与△APD中

∠CAD=∠PAD AD=AD ∠ADC=∠ADP

∴△ACD≌△APD
∴AC=AP
连接PE
∵AE=AE，∠PAE=∠CAE
在△ACE与△APE中

AC=AP ∠CAE=∠PAE AE=AE

∴△ACE≌△APE（SAS）
∴∠APE=∠ACE=90°   
∴∠BPE=∠APE=90°
∴∠PEB=∠PBE=45°∴EP=BP=CE，
∴AC+CE=AP+PB=AB．
（2）∵∠PCB=30°，∠CAE+∠ACD=90°，
∠PCB+∠ACD=90°
∴∠CAE=∠PCB=30°，
在Rt△CDE中，CE=2ED，在Rt△ACE中，AE=2CE，
∴AE=4DE，AD=3DE      
在△ACD和△CFB中，

∠ADC=∠CFB ∠CAE=∠PCB AC=BC

，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CF=AD=3DE

点评：本题主要考查全等三角形的判定方法和性质及同角的余角相等，直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法和相关的性质是解决本题的关键．