Question

10．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求S_△ABD：S_△ACD；
（2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S_△AED=2S_△DGC；
（3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（4）若BD=8，求CD．

Answer 1

分析 （1）由于AD是角平分线，则DF=DM，S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；
（2）由于DF=DM，所以S_△AED与S_△DGC之比就等于AE与CG之比，而AE与CG之比为2；
（3）只需让EF=MG即可；
（4）由$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$可直接求出；

解答 解：（1）∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}DF•AB$，${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}DM•AC$
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{7}$；
（2）∵${S}_{△AED}=\frac{1}{2}DF•AE$，${S}_{△DGC}=\frac{1}{2}DM•CG$，
∴$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}=\frac{AE}{CG}$，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴AE=2t，CG=t．
∴$\frac{AE}{CG}=2$，
∴$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}=2$
∴在运动过程中，不管t取何值，都有S_△AED=2S_△DGC；
（3）∵∠BAD=∠DAC，AD=AD，DF=DM，
∴△ADF≌△ADM．
∴AF=AM=10．
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t，
∴EF=AF-AE=10-2t，CG=t．
∴0＜t＜5．
①当M在线段CG上时，MG=CG-（AC-AM）=t-4．
当EF=MG时△DFE与△DMG全等时．
∴10-2t=t-4．
解得 t=$\frac{14}{3}$．
②当M在线段CG延长线上时，MG=4-t．
∴10-2t=4-t．
解得t=6（舍去）．
③当E在BF上时，2t-10=t-4，解得t=6，符合题意，
∴当 t=$\frac{14}{3}$s或6s时，△DFE 与△DMG 全等．
（4）过点A作AN⊥BC交BC于N，如图，

由（1）得∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{7}$；
又∵${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}BD•AN$，${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}CD•AN$
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}=\frac{BD}{CD}=\frac{8}{7}$；
又∵BD=8，
∴CD=7．

点评 本题主要考查了角平分线的性质、等积变换、全等三角形的判定与性质等知识点，难度适中．在涉及到面积比例问题时，高相同则面积之比等于底之比，底相同则面积之比等于高之比．本题的解答过程实际完成了对角平分线比例定理的推导和应用．