Question

5．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则$\frac{CP}{CG}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 延长GP交CD于M，如图，根据菱形的性质得GF∥CD，∠BCD=120°，CD=CB，GB=GF，则利用平行线的性质得∠PDM=∠PFG，于是可判断△PDM≌△PFG，所以MD=GF，PM=PG，接着证明CM=CG，则根据等腰三角形的性质有CP⊥MG，CP平分∠MCG，所以∠PGC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．

解答 解：延长GP交CD于M，如图，
∵四边形ABCD和BEFG为菱形，点A、B、E在同一直线上，
∴GF∥CD，∠BCD=120°，CD=CB，GB=GF，
∴∠PDM=∠PFG，
在△PDM和△PFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDM=∠PFG}\\{PD=PF}\\{∠DPM=∠FPG}\end{array}\right.$，
∴△PDM≌△PFG，
∴MD=GF，PM=PG，
∴MD=GB，
∴CM=CG，
∵PM=PG，
∴CP⊥MG，CP平分∠MCG，
∴∠PCG=60°，
∴∠PGC=30°，
∴$\frac{CP}{CG}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质．