练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    2．如图坐标系中，点E坐标（3，0），以E为圆心，5为半径作⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．
    （1）写出A，B，C，三点的坐标：A（-2，0）； B（8，0）； C（0，4）
    （2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
    （3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：
    ①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；
    ②若探究①中的M点位于第一象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

    分析 （1）由题意可直接得到点A、B的坐标，连接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的长，则得到点C的坐标；
    （2）已知点A、B、C的坐标，利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式，由解析式得到顶点F的坐标；
    （3）①△ABC中，底边AB上的高OC=4，若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|yM|=4．因此解方程yM=4和yM=-4，可求得点M的坐标；
    ②如解答图，作辅助线，可求得EM=5，因此点M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的长度，则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角三角形，∠EMF=90°，所以直线MF与⊙E相切．

    解答 解：（1）∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，
    ∴A（-2，0），B（8，0）．
    如解答图所示，连接CE．
    在Rt△OCE中，OE=AE-OA=5-2=3，CE=5，
    由勾股定理得：OC=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
    ∴C（0，4）．

    （2）∵点A（-2，0），B（8，0）在抛物线上，
    ∴可设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-8）．
    ∵点C（0，4）在抛物线上，
    ∴4=a×2×（-8），解得a=-$\frac{1}{4}$．
    ∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）2+$\frac{25}{4}$，
    ∴顶点F的坐标为（3，$\frac{25}{4}$）．

    （3）①∵△ABC中，底边AB上的高OC=4，
    ∴若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|yM|=4．
    （I）若yM=4，-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4=4，
    整理得：x2-6x-32=0，解得x=0（与点C重合，故舍去）或x=6．
    ∴点M的坐标为（6，4）；
    （II）若yM=-4，则-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4=-4，
    整理得：x2-6x=0，解得x=3+$\sqrt{41}$或x=3-$\sqrt{41}$．
    ∴点M的坐标为（3+$\sqrt{41}$，-4）或（3-$\sqrt{41}$，-4）．
    综上所述，满足条件的点M的坐标为：（3+$\sqrt{41}$，-4），（3-$\sqrt{41}$，-4）或（6，4）．
    ②直线MF与⊙E相切．理由如下：
    由题意可知，M（6，-4）．
    如解答图所示，连接EM，MF，过点M作MG⊥对称轴EF于点G，

    则MG=3，EG=4．
    在Rt△MEG中，由勾股定理得：ME=$\sqrt{M{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
    ∴点M在⊙E上．
    由（2）知，顶点F的坐标（3，$\frac{25}{4}$），∴EF=$\frac{25}{4}$，
    ∴FG=EF-EG=$\frac{9}{4}$．
    在Rt△MGF中，由勾股定理得：MF=$\sqrt{M{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
    在△EFM中，∵EM2+MF2=52+（$\frac{15}{4}$）2=（$\frac{25}{4}$）2=EF2，
    ∴△EFM为直角三角形，∠EMF=90°．
    ∵点M在⊙E上，且∠EMF=90°，
    ∴直线MF与⊙E相切．

    点评 本题是代数几何综合题，主要考查了抛物线与圆的相关知识，涉及到的考点有二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、切线的判定、解一元二次方程等．第（3）①问中，点M在x轴上方或下方均可能存在，注意不要漏解．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    3．如图，将一副直角三角板如图所示摆放，则∠1的度数为75度．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    4．在数1，3，5，-2，-4，-6中任取两个数相除，所得商中的最小数是-6．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    1．在下列数-$\frac{5}{6}$，+2，12.5，-18，0，$\frac{7}{22}$，-8，28%中，属于整数的有（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    8．在给出的一组数0，π，$\sqrt{5}$，3.14，$\frac{22}{7}$，2.1010010001…（每两个1间逐次增加一个0）中，无理数有（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．5个

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    7．从0，1，2，3，4，这五个数字中，随机抽取一个数，记为a，使得不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＜3}\\{x＜a}\end{array}\right.$的解集是x＜2，且使关于x的一元二次方程（a+1）x2+2$\sqrt{2}$x+$\frac{1}{2}$=0有两个实数根，则a的取值可能为2，3．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    14．如图，Rt△AOC在平面直角坐标系中，OC在y轴上．OC=2，OA=5．将△AOC沿OB翻折使点A恰好落在y轴上的点A′的位置，则AB=$\frac{5\sqrt{21}}{7}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    11．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，将△ABC沿DE折叠，使底角顶点C落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，则∠ABC=63度．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．用适当的方法解方程
    （1）（3x-1）2=4（2x-3）2
    （2）x2-（2$\sqrt{3}$+1）x+2$\sqrt{3}$=0
    （3）x2-3x-10=0
    （4）16x2+8x+1=0．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案