Question

12．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：△AFM≌△DFC；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）易证△ADE、△AFD、△DFE为等腰直角三角形，从而可得AF=DF，∠AFM=∠DFC=90°，根据同角的余角相等可得∠AMF=∠DCF，根据AAS即可得到△AFM≌△DFC；
（2）由于AD⊥DE，要证AD⊥DE，只需证DE∥MC，只需证∠ACM=∠AED=45°，只需证△MFC为等腰直角三角形即可．

解答 证明：（1）∵AD⊥DE，AD=DE，点F是AE的中点，
∴∠AFM=∠DFC=90°，AF=DF，∠DEA=∠DAE=45°．
∵∠ABC=∠AFM=90°，
∴∠AMF+∠MAC=90°，∠DCF+∠MAC=90°，
∴∠AMF=∠DCF．
在△AFM和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFM=∠DFC}\\{∠AMF=∠DCF}\\{AF=DF}\end{array}\right.$
∴△AFM≌△DFC；

（2）AD⊥MC．
理由如下：
由（1）知，△AFM≌△DFC，
∴FM=FC．
∴△FMC是等腰直角三角形，
∴∠FCM=45°．
∵∠FED=45°，
∴∠FED=∠FCM，
∴DE∥MC．
∵AD⊥DE，
∴AD⊥MC．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，考查了分析问题与解决问题的能力．