Question

20．如图，已知点（1，3）在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴正半轴上，E是对角线BD的中点，函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）求点C的横坐标（用m表示）；
（3）当∠ABD=45°，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把（1，3）代入反比例函数解析式即可；
（2）BG=CG，求出OB即可，A在反比例函数解析式上，求出AB，即A的纵坐标，代入求出A的横坐标，求出BG和CG，求出OC，即可求出答案；
（3）∠ABD=45°时，AB=BD，把（2）中的代数式代入即可求解．

解答 解：（1）∵点（1，3）在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴3=$\frac{k}{1}$，即k=3；

（2）连接AC，则AC过E，过E做EG⊥BC交BC于G点，
∵点E的横坐标为m，E在双曲线y=$\frac{3}{x}$上，
∴E的纵坐标是y=$\frac{3}{m}$，
∵E为BD中点，
∴由平行四边形性质得出E为AC中点，
∴BG=GC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=2EG=$\frac{6}{m}$，
即A点的纵坐标是$\frac{6}{m}$，
代入双曲线y=$\frac{3}{x}$得：A的横坐标是$\frac{1}{2}$m，
∴OB=$\frac{1}{2}$m，
即BG=GC=m-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$m，
∴CO=$\frac{1}{2}$m+m=$\frac{3}{2}$m，
∴点C（$\frac{3}{2}$m，0）．

（3）当∠ABD=45°时，AB=AD，则有$\frac{6}{m}$=m，即m²=6，
解之m₁=$\sqrt{6}$，m₂=-$\sqrt{6}$（舍去），
∴m=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知若函数过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．另外，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解答此题的关键．