【题目】下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知:如图,⊙O及⊙O上一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.
作法:如图,作射线OP;
① 在直线OP外任取一点A,以A为圆心,AP为半径作⊙A,与射线OP交于另一点B;
②连接并延长BA与⊙A交于点C;
③作直线PC;
则直线PC即为所求.根据小元设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:∵ BC是⊙A的直径,
∴ ∠BPC=90° (填推理依据).
∴ OP⊥PC.
又∵ OP是⊙O的半径,
∴ PC是⊙O的切线 (填推理依据).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上不同于A、B的两点,∠ABD=2∠BAC,过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E,直线AB与CE相交于点F.
(1)求证:CF为⊙O的切线;
(2)填空:当∠CAB的度数为________时,四边形ACFD是菱形.
【答案】30°
【解析】(1)连结OC,如图,由于∠A=∠OCA,则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠A,而∠ABD=2∠BAC,所以∠ABD=∠BOC,根据平行线的判定得到OC∥BD,再CE⊥BD得到OC⊥CE,然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线;
(2)根据三角形的内角和得到∠F=30°,根据等腰三角形的性质得到AC=CF,连接AD,根据平行线的性质得到∠DAF=∠F=30°,根据全等三角形的性质得到AD=AC,由菱形的判定定理即可得到结论.
答:
(1)证明:连结OC,如图,
∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA,
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,
∵∠ABD=2∠BAC,
∴∠ABD=∠BOC,
∴OC∥BD,
∵CE⊥BD,
∴OC⊥CE,
∴CF为⊙O的切线;
(2)当∠CAB的度数为30°时,四边形ACFD是菱形,理由如下:
∵∠A=30°,
∴∠COF=60°,
∴∠F=30°,
∴∠A=∠F,
∴AC=CF,
连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BD,
∴AD∥CF,
∴∠DAF=∠F=30°,
在△ACB与△ADB中,
,
∴△ACB≌△ADB,
∴AD=AC,
∴AD=CF,
∵AD∥CF,
∴四边形ACFD是菱形。
故答案为:30°.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】经市场调查,某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表;已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品每天的利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该商品销售过程中,共有多少天日销售利润不低于4800元?直接写出答案.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某服装店出售某品牌的棉衣,进价为100元/件,当售价为150元/件时,平均每天可卖30件;为了尽快减少库存迎接“元旦”的到来,商店决定降价销售,增加利润,经调查每件降价5元,则每天可多卖10件,现要想平均每天获利2000元,且让顾客得到实惠,那么每件棉衣应降价多少元?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.
(1)在旋转过程中,
①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长.
②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连结D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】草莓是云南多地盛产的一种水果,今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克20元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元,经试销发现,销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图是y与x的函数关系图象.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元,求W的最大值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】随着生活水平的提高,人们对饮水品质的需求越来越高,某公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器,其中A型净水器每台的利润为400元,B型净水器每台的利润为500元.该公司计划再一次性购进两种型号的净水器共100台,其中B型净水器的进货量不超过A型净水器的2倍,设购进A型净水器x台,这100台净水器的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)该公司购进A型、B型净水器各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?
(3)实际进货时,厂家对A型净水器出厂价下调a(0<a<150)元,且限定公司最多购进A型净水器60台,若公司保持同种净水器的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台净水器销售总利润最大的进货方案.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB,得△PCB≌△BOA(O为坐标原点).若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C,F间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m.
(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式;
(2)当m为何值时,△MAB面积S取得最小值和最大值?请说明理由;
(3)求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标.
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