Question

【题目】随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，其中A型净水器每台的利润为400元，B型净水器每台的利润为500元．该公司计划再一次性购进两种型号的净水器共100台，其中B型净水器的进货量不超过A型净水器的2倍，设购进A型净水器x台，这100台净水器的销售总利润为y元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）该公司购进A型、B型净水器各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？

（3）实际进货时，厂家对A型净水器出厂价下调a（0＜a＜150）元，且限定公司最多购进A型净水器60台，若公司保持同种净水器的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台净水器销售总利润最大的进货方案．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣100x+50000；（2）该公司购进A型净水器34台、B型净水器66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）①当0＜a＜100时，公司购进34台A型净水器和66台B型净水器的销售利润最大；②a=100时，公司购进A型净水器数量满足≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜150时，公司购进60台A型净水器和40台B型净水器的销售利润最大．

【解析】

（1）根据“总利润=A型净水器每台利润×A型净水器数量+B型净水器每台利润×B型净水器数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型净水器的进货量不超过A型净水器的2倍且净水器量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解；
（3）根据a的取值范围以及一次函数的性质，利用分类讨论的方法分别进行求解即可．

（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；

（2）∵100﹣x≤2x，

∴x≥．

∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，

∴y随x的增大而减小．

∵x为正数，

∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，

答：该公司购进A型净水器34台、B型净水器66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；

（3）据题意得：y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，

，

①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，

∴当x=34时，y取最大值，

即公司购进34台A型净水器和66台B型净水器的销售利润最大．

②a=100时，a﹣100=0，y=50000，

即公司购进A型净水器数量满足≤x≤60的整数时，均获得最大利润；

③当100＜a＜150时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，

∴当x=60时，y取得最大值．

即公司购进60台A型净水器和40台B型净水器的销售利润最大．