Question

已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∥AB交边AC于点F，EG∥AC交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H．
求证：GF=BH．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：先延长AD至A′，使DA′=AD，连接A′B，A′C，得出A′C∥AB，A′C=AB，再证出HF∥A′C，得出

HF

A′C

=

AF

AC

，再根据平行线分线段成比例定理得出

EG

A′C

=

BH

BA

，HF∥BG且GF=BH，从而证出四边形BGFH为平行四边形，即可得出答案．

解答：证明：延长AD至A′，使DA′=AD，连接A′B，A′C，
∵BD=CD，
∴四边形ABA′C为平行四边形，
∴A′C∥AB，A′C=AB，
∵HF∥A′C，
∴

HF

A′C

=

AF

AC

，
又∵HF∥AB，EG∥AC，
∴

AF

AC

=

BE

BC

，

BE

BC

=

BG

AB

，
∴

HF

A′C

=

BG

AB

，
∵A′C=AB，
∴HF=BG，
∴BG∥HF且BG=HF，
∴四边形BGFH为平行四边形，
∴GF=BH．

点评：点评：此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，构造平行四边形．