Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，连结CO并延长交⊙O的切线AP于点P．
（1）求证：∠APC=∠BCP；
（2）若sin∠APC=

3

5

，BC=4，求AP的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连结AO并延长交BC于D、

BC

于E，利用切线的性质和垂径定理即可证明AP∥BC，进而可证明：∠APC=∠BCP；
（2）设OA=3k，OP=5k，则OC=OA=3k，因为BC∥AP，所以△PAO∽△CDO，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AP的长．

解答：（1）证明：连结AO并延长交BC于D、

BC

于E，
∵AP切⊙O于点A，
∴AP⊥AE，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴AE⊥BC，
∴AP∥BC，
∴∠APC=∠BCP，
（2）解：∵AE⊥BC，
∴CD=

1

2

BC=2，
∵sin∠APC=

AO

PO

=

3

5

，
∴设OA=3k，OP=5k，则OC=OA=3k，
∵BC∥AP，
∴△PAO∽△CDO，
∴

PA

CD

=

PO

CO

，
∴

PA

2

=

5k

3k

，
∴PA=

10

3

．

点评：本题利用了垂径定理的推论、切线的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数，题目的难度中等，是常见中考题型．