Question

如图，AB为⊙O的直径，∠ABC=30°，ED⊥AB于点F，CD切⊙O于点C，交EF于点D．
（1）∠E=

 

°；
（2）△DCE是什么特殊三角形？请说明理由；
（3）当⊙O的半径为1，BF=

3- 3

2

时，求证：△DCE≌△OCB．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）ED⊥AB于点F，∠EFA=90°所以∠E+∠A=90°．AB为⊙O的直径，∠ACB=90°所以∠A+∠ABC=90°，∠E=∠ABC=30°；
（2）CD是⊙O的切线，得∠OCD=90°即∠1+∠3=90°，∠ECB=90°，即∠2+∠3=90°，∠1=∠2．于是得∠2=∠E=30°，DE=CD，进而可知此三角形为等腰三角形；
（3）由勾股定理求得BC=

3

，然后由直角三角形的性质，求得CE=

3

，即可证得△DCE≌△OCB．

解答：（1）解：∵ED⊥AB于点F，
∴∠EFA=90°．
∴∠E+∠A=90°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°
∴∠E=∠ABC=30°；

（2）解：△DCE为等腰三角形．理由如下：
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
即∠1+∠3=90°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECB=90°，即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°；
∵OC=OB，
∴∠1=∠B=30°，
∴∠2=30°．
∵∠E=30°，
∴∠E=∠2，
∴DE=CD．
故△DCE的等腰三角形；

（3）证明：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×2=1．
∴BC=

AB2-AC2

=

3

．
AF=AB-BF=2-

3- 3

2

=

1+ 3

2

，
在Rt△AEF中，∵∠E=30°，
∴AE=2AF=1+

3

，
∴CE=AE-AC=1+

3

-1=

3

．
在△DCE和△OCB中，
∵∠E=∠2=∠B=∠1=30°，CE=BC=

3

，
∴在△DCE和△OCB中，

∠2=∠1 CE=CB ∠E=∠B

∴△DCE≌△OCB．

点评：本题主要考查了切线的性质、圆周角定理的推论、等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及全等三角形的判定，综合性较强．