Question

在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知：点A（3，0）、B（-2，5）、C（0，-3）．
（1）求经过点A、B、C的抛物线的表达式；
（2）若点D是（1）中求出的抛物线的顶点，求tan∠CAD的值．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，再把三个已知点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可得到二次函数的解析式；
（2）把（1）中的解析式配方得到顶点式y=（x-1）²-4，则D点坐标为（1，-4），再利用两点间的距离公式分别计算出AC、CD、AD，然后根据勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，再利用正切的定义求解．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把点A（3，0）、B（-2，5）、C（0，-3）代入得

9a+3b+c=0 4a-2b+c=5 c=-3

，解得

a=1 b=-2 c=-3

，
所以抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
所以D点坐标为（1，-4），
∵AD²=（3-1）²+（0+4）²=20，
CD²=（-3+4）²+（0-1）²=2，
AC²=（3-0）²+（0+3）²=18，
∴AD²=CD²+AC²，
∴△ACD为直角三角形，
∴tan∠CAD=

CD

AC

=

2

3 2

=

1

3

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了勾股定理及其逆定理．