Question

11．在平面直角坐标系xOy中，A（-8，0），B（0，6），点D、E同时从A点出发，其中点D沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点E沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）AB的长为10；
（2）点D、E在运动过程中，以点E为圆心，ED为半径的⊙E与直线AB有何位置关系？证明你的结论；
（3）设点C（m，0）为x轴正半轴上的一点，CF⊥直线AB，F为垂足．求t、m为何值时，以点E为圆心，ED为半径的⊙E与y轴及直线CF都相切．

Answer 1

分析 （1）易证AO，BO的长，由勾股定理即可求出AB的长；
（2）以ED为半径的⊙E与直线AB相切，易证△ADE∽△AOB，由相似三角形的性质可得：∠ADE=∠AOB=90°，进而可证明⊙E与直线AB相切；
（3）因为⊙E是动圆，所以当⊙E与y轴及直线CF都相切时有两种情况：①当⊙E在y轴的左侧与y轴相切；②当⊙E在y轴的右左侧与y轴相切，再就两种情况分别讨论求出符合题意的t值即可．

解答 解：（1）∵A（-8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
故答案为：10；
（2）始终相切，理由如下：
由题意得：AD=4t，AE=5t，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{4}{5}=\frac{AO}{AB}$，
又∵∠DAE=∠OAB，
∴△ADE∽△AOB，
∴∠ADE=∠AOB=90°，
∵点D在AB上，
∴⊙E在运动过程中保持与AB相切；
（3）①当⊙E在y轴的左侧与y轴相切时，如图1，DE=OE，3t=8-5t，t=1，
此时，AE=5，AD=4，DE=3，
∵△ADE∽△AOB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AF}$，
当⊙E在y轴及CF都相切时，DF=DE，
∴$\frac{5}{8+m}=\frac{4}{4+3}$
解得$m=\frac{3}{4}$；
②当⊙E在y轴的右左侧与y轴相切时，如图2，DE=OE，3t=5t-8，t=4，此时，AE=20，AD=16，DE=12，
∵△ADE∽△AOB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AF}$，
当⊙E在y轴及CF都相切时，DF=DE，
∴$\frac{20}{8+m}=\frac{16}{16+12}$，
解得m=27．
综上可知当t=1、m=$\frac{3}{4}$或t=4、m=27时满足题意．

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有切线的性质定理、切线的判定定理、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，正确运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键．