Question

20．已知：抛物线y₁=x²+bx+3与x轴分别交于点A（-3，0），B（m，0）．将y₁向右平移4个单位得到y₂．
（1）求b的值；
（2）求抛物线y₂的表达式；
（3）抛物线y₂与y轴交于点D，与x轴交于点E、F（点E在点F的左侧），记抛物线在D、F之间的部分为图象G（包含D、F两点），若直线y=kx+k-1与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线y=kx+k-1与抛物线y₂的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0）代入y₁=x²+bx+3求出b的值即可；
（2）将y₁变形化成顶点式得：y₁=（x+2）²-1，由平移的规律即可得出结果；
（3）求出抛物线y₂的对称轴和顶点坐标，求出与坐标轴的交点坐标E（1，0），F（3，0），D（0，3），由题意得出直线y=kx+k-1过定点（-1，-1）得出当直线y=kx+k-1与图象G有一个公共点时，t=-1，求出当直线y=kx+k-1过F（3，0）时和直线过D（0，3）时k的值，分别得出直线的解析式，得出t的值，再结合图象即可得出结果．

解答 解：（1）把A（-3，0）代入y₁=x²+bx+3得：9-3b+3=0，
解得：b=4，
∴y₁的表达式为：y=x²+4x+3；
（2）将y₁变形得：y₁=（x+2）²-1
据题意y₂=（x+2-4）²-1=（x-2）²-1=x²-4x+3；
∴抛物线y₂的表达式为y=x²-4x+3；
（3）∵y₂=（x-2）²-1，
∴对称轴是x=2，顶点为（2，-1）；
当y₂=0时，x=1或x=3，
∴E（1，0），F（3，0），D（0，3），
∵直线y=kx+k-1过定点（-1，-1）
当直线y=kx+k-1与图象G有一个公共点时，t=-1，
当直线y=kx+k-1过F（3，0）时，3k+k-1=0，
解得：k=$\frac{1}{4}$，
∴直线解析式为y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
把x=2代入=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，得：y=-$\frac{1}{4}$，
当直线过D（0，3）时，k-1=3，
解得：k=4，
∴直线解析式为y=4x+3，
把x=2代入y=4x+3得：y=11，即t=11，
∴结合图象可知t=-1，或$\frac{1}{4}$＜t≤11．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象的平移、待定系数法求函数的解析式等知识；本题综合性强，有一定难度，确定二次函数的解析式和抛物线与x轴的交点坐标是解决问题的关键．