Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点A在点（-1，0）和（0，0）之间（包括这两点），顶点B是矩形CDEF上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是$\frac{2}{25}$≤a≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 顶点B是矩形CDEF上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点B与C点重合，可以知道顶点坐标为（2，-3）且抛物线过（-1，0），则它与x轴的另一个交点为（5，0），由此可求出a；当顶点B与D点重合，顶点坐标为（4，-3）且抛物线过（0，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．

解答 解：顶点B是矩形CDEF上，
当顶点B与C点重合，顶点坐标为（2，-3），则抛物线解析式y=a（x-2）²-3，
由 $\left\{\begin{array}{l}{a（-1-2）^{2}-3≥0}\\{a（5-2）^{2}-3≤0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$，
当顶点B与E点重合，顶点坐标为（4，-2），则抛物线解析式y=a（x-4）²-2，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-4）^{2}-2≥0}\\{a（8-4）^{2}-2≤0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{2}{25}≤a≤\frac{1}{8}$，
∵顶点可以在矩形内部，
∴a的取值范围是$\frac{2}{25}$≤a≤$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{2}{25}$≤a≤$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了抛物线的解析式y=ax²+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．