Question

13．定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．
如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”．
（1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长；
A（-1，0），B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$），CD=3+$\sqrt{3}$；
（2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．
①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式；
②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式；
（3）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S_△CDE=S_△CDF，若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC=60°，当BP最大时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与一元二次方程的关系以及勾股定理解答；
（2）运用待定系数法求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式；运用二元二次方程组、一元二次方程根的判别式求出过点D的“蛋圆”切线的解析式；
（3）根据题意求出点E的坐标，根据同底等高的两个三角形面积相等解答；
（4）根据∠BPC=60°保持不变，点P在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可．

解答 解：（1）当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
当x=0时，y=3，
∴A（-1，0），B（3，0），OD=3，
如图1，连接MC，由题意得，OM=1，MC=2，
∴OC=$\sqrt{M{C}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C（0，$\sqrt{3}$），CD=3+$\sqrt{3}$，
故答案为：（-1，0）；（3，0）；（0，$\sqrt{3}$）；3+$\sqrt{3}$；
（2）①如图2，NC⊥CM，可求得N（-3，0），
∴经过点C的“蛋圆”切线的解析式为：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}$，
②过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-3\\ y={x^2}-2x-3\end{array}\right.$，
得：x²-（2+k）x=0，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴k=-2，
∴经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y=-2x-3．
（3）如图3，∵经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y=-2x-3，
∴E点坐标为（$-\frac{3}{2}$，0），
∵S_△CDE=S_△CDF，
∴F点的横坐标为$\frac{3}{2}$，
在Rt△MQF₁中可求得F′Q=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，
把x=$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3，可求得y=$-\frac{15}{4}$．
∴F′（$\frac{3}{2}$，$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$），F′′（$\frac{3}{2}$，$-\frac{15}{4}$）；
（4）如图4，∵∠BPC=60°保持不变，
因此点P在一圆弧上运动．
此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且∠BKC=120°），BK为半径．
当BP为直径时，BP最大．
在Rt△PCR中可求得PR=1，RC=$\sqrt{3}$．
所以点P的坐标为（1，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查的是圆与二次函数知识的综合运用，正确理解“蛋圆”的概念、掌握圆周角定理、二次函数的图象和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，注意辅助线的作法要正确．