Question

1．如图①，在平面直角坐标系中，直径为2$\sqrt{3}$的⊙A经过坐标系原点O（0，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，$\sqrt{3}$）．
（1）求点B的坐标；
（2）如图②，过点B作⊙A的切线交直线OA于点P，求点P的坐标；
（3）过点P作⊙A的另一条切线PE，请直接写出切点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）连接BC，根据圆周角定理得到BC是⊙A的直径，根据勾股定理计算即可求出点B的坐标；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，根据正切的定义求出∠OBC的度数，根据锐角三角函数的定义求出PD、OD，得到点P的坐标；
（3）根据切线长定理求出∠EPB=60°，证明PE∥OD，求出切点E的坐标．

解答 解：（1）如图①，连接BC，
∵∠BOC=90°，
∴BC是⊙A的直径，
∴$BC=2\sqrt{3}$，
∵$C（{0，\sqrt{3}}）$，
∴$OC=\sqrt{3}$．
∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=3，
∴B（3，0）；
（2）如图②，过点P作PD⊥x轴于点D，
∵PB为⊙A的切线，
$C（{0，\sqrt{3}}）$，
∴$tan∠OBC=\frac{OC}{OB}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴∠OBC=30°，
∴∠AOB=30°．
∴∠OPB=180°-∠POB-∠ABO-∠ABP=30°．
∴OB=BP=3，
在Rt△PBD中，∠PDB=90°，∠PBD=60°，BP=3，
∴$BD=\frac{3}{2}$，$PD=\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
∵OB=3，
∴$OD=OB+BD=\frac{9}{2}$．
∴$P（{\frac{9}{2}，\frac{3}{2}\sqrt{3}}）$；
（3）由（2）得，∠OPB=30°，
∵PE、PB是⊙A的切线，
∴∠EPA=∠OPB=30°，
∴∠EPB=60°，又∠PBD=60°，
∴PE∥OD，
∴$E（{\frac{3}{2}，\frac{3}{2}\sqrt{3}}）$．

点评 本题考查的是圆的知识的综合运用，掌握圆周角定理、切线的性质定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键，解答时，注意辅助线的作法和勾股定理的正确运用．