Question

如图，是一个残破的圆片的示意图；
（1）用尺规图找出该残片所在圆的圆心位置；
（2）若此圆上的三点A、B、C满足AB=AC，BC=3

3

，∠ABC=30°，求

BAC

的长；
（3）题（2）中的三点能否是该圆的某个内接正多边形的相邻的三个顶点？如果是，请求出这个正多边形的面积；若不是请说明理由．

Answer 1

考点：垂径定理的应用,正多边形和圆,弧长的计算

专题：

分析：（1）分别作出线段AC与BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心；
（2）分别连结OA、OB，设OA交BC于点D，根据垂径定理求出DB的长，再由锐角三角函数的定义得出AD的长，设半径OB=r，则OD=2-r，在Rt△OBD中根据勾股定理求出r的值，再由圆周角定理求出∠BOC的度数，根据弧长公式即可得出结论；
（3）根据∠ABC=30°，AB=AC得出∠BAC的度数，故可得出此三点是圆内接正六边形的顶点，故可得出△AOB是等边三角形，进而可得出结论．

解答：解：（1）如图所示，点O就是所求的圆心；

（2）分别连结OA、OB，设OA交BC于点D，
∵AB=AC，
∴0A⊥BC，DB=DC=

1

2

BC=2

3

，
∵∠ABC=30°，
∴AD=2

3

tan30°=2，
设半径OB=r，则OD=2-r，根据勾股定理，得
（2

3

）²+（2-r）²=r²，解得r=4，即半径为4．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠BAC=120°，
∴

BAC

所对的圆周角是60°，
∴∠BOC=120°，
∴

BAC

的长=

120π×4

180

=

8

3

π；

（3）∵∠ABC=30°，AB=AC，
∴∠BAC=120°，
∴此三点是圆内接正六边形的顶点，
∴△AOB是等边三角形，
∴S_正六边形=6S_△AOB=6×

1

2

×4×4sin60°=48×

3

2

=24

3

．

点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．