Question

14．已知二次函数的图象经过A（3，0），B（0，-3），C（-2，5）三点．
（1）求这个函数的解析式及函数图象顶点P的坐标；
（2）画出二次函数的图象（要列表画图）并求四边形OBPA的面积．
（3）观察图象：x为何值时，y＞0，y＜0？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出其顶点坐标即可；
（2）在坐标系内画出函数图象，连接OP，根据S_{四边形OBPA}=S_△OBP+S_△OAP即可得出结论；
（3）根据函数图象与坐标轴的交点即可得出结论．

解答 解：（1）设此函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵二次函数的图象经过A（3，0），B（0，-3），C（-2，5）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}0=9a+3b+c\\-3=c\\ 5=4a-2b+c\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴函数图象顶点P的坐标为（1，-4）；

（2）如图所示，连接OP，
则S_{四边形OBPA}=S_△OBP+S_△OAP=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{3}{2}$+6=$\frac{15}{2}$；

（3）∵由函数图象可知，此函数图象与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
∴当x＜-1或x＞3时，y＞0；
当-1＜x＜3时，y＜0．

点评 本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．